1
[13.4 3.作已知角的平分线]
,
一、选择题
图 K－32－1
1．观察图 K－32－1 中尺规作图的痕迹，下列结论错误的是( )
A．PQ 为∠APB 的平分线
B．PA＝PB
C．点 A，B 到 PQ 的距离不相等
D．∠APQ＝∠BPQ
二、填空题
图 K－32－2
2．2017·邵阳如图 K－32－2 所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：
①在 OA，OB 上分别截取线段 OD，OE，使 OD＝OE；②分别以点 D，E 为圆心，以大于
1
2DE
的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点 C；③作射线 OC.则∠AOC 的大小为________．
三、解答题
3．如图 K－32－3 所示，试把∠EOF 四等分，作出图形并写出作法.链接听课例2归纳总结2
图 K－32－3
4．如图 K－32－4，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BA 延长线上的一点，E 是 AC 的中点．
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不
写作法)．
①作∠DAC 的平分线 AM；②连结 BE 并延长交 AM 于点 F.
(2) 猜想与证明：试猜想 AF 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由.
链接听课例3归纳总结
图 K－32－4
探究推理数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如
下：
作法：如图 K－32－5，①在 OA 和 OB 上分别截取 OD，OE，使 OD＝OE；
②分别以点 D 和点 E 为圆心，大于
1
2DE 的长为半径作圆弧，两弧在∠AOB 内交于点 C；
③作射线 OC.OC 就是∠AOB 的平分线．
图 K－32－5
小聪只带了三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：
步骤：如图 K－32－6，①利用三角板上的刻度，在 OA 和 OB 上分别截取 OM，ON，使 OM
＝ON；3
图 K－32－6
②分别过点 M，N 作 OM，ON 的垂线，交于点 P；
③作射线 OP.则 OP 为∠AOB 的平分线．
小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
根据以上情境，解决下列问题：
(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是________；
(2)小聪的作法正确吗？请说明理由；
(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．(要求：作出图形，写出作图步骤，不
予证明)4
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．C
2．[答案] 20°
[解析] 由作图的步骤知，OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC＝20°.
3．解：作图如图．
作法：(1)作∠EOF 的平分线 OA；
(2)分别作∠EOA 和∠AOF 的平分线 OB，OC，则射线 OA，OB，OC 将∠EOF 四等分．
4．解：(1)如图所示：
(2)AF∥BC 且 AF＝BC.
理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
∴∠DAC＝∠ABC＋∠C＝2∠C.
由作图可知∠DAC＝2∠FAC，
∴∠C＝∠FAC，∴AF∥BC.
∵E 为 AC 的中点，∴AE＝EC.
在△AEF 和△CEB 中，5
∵∠FAE＝∠C，AE＝CE，∠AEF＝∠CEB，
∴△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.
[素养提升]
[导学号：90702280]
解：(1)S.S.S.
(2)小聪的作法正确．理由：
∵PM⊥OM，PN⊥ON，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°.
在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中，
∵OP＝OP，OM＝ON，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(H.L.)，
∴∠MOP＝∠NOP，
即 OP 平分∠AOB.
(3)如图所示．
步骤：①利用刻度尺在 OA，OB 上分别截取 OG，OH，使 OG＝OH；
②连结 GH，利用刻度尺作出 GH 的中点 Q；
③作射线 OQ.则 OQ 为∠AOB 的平分线．
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