1
[13.3 1.等腰三角形的性质]
,
一、选择题
1．等腰三角形有一个角是 120°，则另两个角分别是( )
A．60°，60° B．30°，30°
C．30°，120° D．20°，120°
2．2017·重庆九龙坡七校期末联考一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则它的周
长为( )
A．17 B．15
C．13 D．13 或 17
3．2016·呼伦贝尔如图 K－29－1，在△ABC 中，AB＝AC，过点 A 作 AD∥BC.若∠1＝70
°，则∠BAC 的大小为( )
A．40° B．30° C．70° D．50°
图 K－29－1
4.如图 K－29－2，AB∥CD，点 E 在 BC 上，CD＝CE.若∠ABC＝34°，则∠BED 的度数是
( )
图 K－29－2
A．104° B．107° C．116° D．124°
5．如图 K－29－3，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1
的度数为( )2
A．36° B．60° C．72° D．108°
图 K－29－3
6．如图 K－29－4，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°，则∠A
的度数为( )
图 K－29－4
A．80° B．90° C．100° D．110°
7 ． 若 等 腰 三 角 形 的 一 个 内 角 等 于 88 ° ， 则 另 两 个 内 角 的 度 数 分 别 为
链接听课例3归纳总结( )
A．88°，4° B．46°，46°或 88°，4°
C．46°，46° D．88°，24°
图 K－29－5
8．如图 K－29－5，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且 AC＝CD＝BD＝BE，∠
A＝50°，则∠CDE 的度数为( )
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
二、填空题
9．如图 K－29－6，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，BD⊥AC 于点 D，则∠CBD
＝________．
10 ．在等腰三角形 ABC 中，AB ＝AC ，其周长为 16 cm ，则 AB 边的取值范围是
________．3
图 K－29－6
11．如图 K－29－7，已知△ABC 是等边三角形，点 B，C，D，E 在同一条直线上，且 CG
＝CD，DF＝DE，则∠E＝________°.链接听课例5归纳总结
图 K－29－7
三、解答题
12．2017·北京如图 K－29－8，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 平分∠ABC 交 AC
于点 D.
求证：AD＝BC.
图 K－29－8
13．如图 K－29－9，已知△ ABC 中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C 的度
数．
图 K－29－94
14．如图 K－29－10，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，AD 是 BC 边上的中线．
求证：BE＝BD.链接听课例5归纳总结
图 K－29－10
15．在△ABC 中，AB＝AC，AC 边上的中线 BD 把三角形的周长分为 12 和 18 的两部分，
求三角形的三边长．5
16．如图 K－29－11，已知△ ABC 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，求∠α 的度
数．
图 K－29－11
17．如图 K－29－12，△ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上一点，以 CD 为边作等边三角
形 CDE，使点 E，A 在直线 DC 的同侧，连结 AE.
求证：AE∥BC.
图 K－29－12
18．小明做了一个如图 K－29－13 所示的“风筝”骨架，其中 AB＝AD，CB＝CD.
(1)八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，她认为AC⊥BD，垂足为 E，并且 BE＝ED，
你同意王云的判断吗？为什么？
(2)设 AC＝a，BD＝b，请用含 a，b 的式子表示四边形 ABCD 的面积.链接听课例4归纳总结6
图 K－29－13
规律探究 2016·六盘水如图 K－29－14，已知 AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝
A3A4，….若∠A＝70°，则∠An－1AnBn－1 的度数为( )
图 K－29－14
A.
70°
2n B.
70°
2n＋1
C.
70°
2n－1 D.
70°
2n＋27
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．B
2．[解析] A 等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，有两种情况：①三边长为 3，3，7，
这种情况的三边不能构成三角形；②三角形的三边长为 7，7，3，此时三角形的周长为 17.
3．[解析] A ∵AD∥BC，
∴∠C＝∠1＝70°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝40°.故选 A.
4．B
5．[解析] C ∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝36°，
∴∠1＝∠A＋∠ABD＝72°.
故选 C.
6．C
7．B
8．[解析] D ∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，
∴∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED.
∵∠B＋∠DCB＝∠CDA＝50°，
∴∠B＝25°.
∵∠B＋∠BDE＋∠BED＝180°，8
∴∠BDE＝∠BED＝
1
2×(180°－25°)＝77.5°，
∴∠CDE＝180°－∠CDA－∠BDE＝180°－50°－77.5°＝52.5°.
故选 D.
9．[答案] 15°
[解析] 因为 AB＝AC，
所以∠ABC＝∠C.
因为∠A＝30°，
所以∠C＝75°.
又因为 BD⊥AC，
所以∠CBD＝90°－75°＝15°.
10．4 cm＜AB＜8 cm
11．[答案] 15
[解析] ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB＝60°.
∵CG＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠CDG＝30°.
∵DF＝DE，∴∠E＝15°.
12．证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝
1
2(180°－∠A)＝
1
2×(180°－36°)＝72°.
又∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝
1
2∠ABC＝
1
2×72°＝36°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72
°，
∴∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD＝BC.9
13．解：∵AB＝BD，
∴∠BDA＝∠A.
∵BD＝DC，
∴∠C＝∠CBD.
设∠C＝∠CBD＝x，
则∠BDA＝∠A＝2x，
∴∠ABD＝180°－4x，
∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝180°－4x＋x＝105°，
解得 x＝25°，
∴2x＝50°，
即∠A＝50°，∠C＝25°.
14．证明：∵△ABC 和△ADE 均是等边三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°.
∵AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝
1
2∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝∠BAD＝30°.
在△ABE 和△ABD 中，
∵AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，AB＝AB，
∴△ABE≌△ABD(S.A.S.)，
∴BE＝BD.
15．解：根据题意画出图形，如图．10
设等腰三角形的腰长 AB＝AC＝2x，BC＝y.
∵BD 是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x.
若 AB＋AD 的长为 12，则 2x＋x＝12，
解得 x＝4，
则 x＋y＝18，即 4＋y＝18，
解得 y＝14，
∴等腰三角形的腰长为 8，底边长为 14.
若 AB＋AD 的长为 18，则 2x＋x＝18，
解得 x＝6，
则 x＋y＝12，即 6＋y＝12，
解得 y＝6，
∴等腰三角形的腰长为 12，底边长为 6.
综上所述，三角形的三边长分别为 8，8，14 或 12，12，6.
16．[解析] 根据等腰三角形的性质求出∠C＝∠B，
根据三角形外角的性质求出∠B＝∠C＝∠AED＋∠α－30°，
根据∠AED＝∠ADE＝∠C＋∠α，
得出等式∠AED＝∠AED＋∠α－30°＋∠α，
求出∠α即可．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠B＋30°＝∠AED＋∠α，
∴∠B＝∠C＝∠AED＋∠α－30°.
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝∠C＋∠α，11
即∠AED＝∠AED＋∠α－30°＋∠α，
∴2∠α＝30°，
∴∠α＝15°.
17．[导学号：90702269]
证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
在△DBC 和△EAC 中，
∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，
∴△DBC≌△EAC，
∴∠DBC＝∠EAC.
又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠EAC，
∴AE∥BC.
18．[解析] (1)根据“S.S.S.”证△ABC≌△ADC，推出∠BAC＝∠DAC，根据等腰三角形
“三线合一”的性质即可推出AC⊥BD；(2)四边形 ABCD 的面积为 S＝S△ABD＋S△CBD＝BD·AC，
代入求出即可．
解：(1)同意．理由如下：
在△ABC 和△ADC 中，
∵AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(S.S.S.)，
∴∠BAC＝∠DAC.
∵AB＝AD，
∴AC⊥BD，BE＝DE(等腰三角形的“三线合一”)．
(2)∵AC＝a，BD＝b，12
∴四边形 ABCD 的面积 S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝
1
2BD ·AE ＋
1
2BD·CE ＝
1
2BD·(AE ＋CE) ＝
1
2
BD·AC＝
1
2ab.
[素养提升]
C [解析] ∵在△ABA1 中，∠A＝70°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝70°.
∵A1A2＝A1B1，∠BA1A 是△A1A2B1 的外角，
∴∠B1A2A1＝
∠BA1A
2 ＝35°＝
70°
2 .
同理可得∠B2A3A2＝17.5°＝
70°
22 ，∠B3A4A3＝8.75°＝
70°
23 ，
∴∠An－1AnBn－1＝
70°
2n－1.
故选 C.
微信/支付宝扫码支付