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专题训练(四) 等腰三角形性质
与判定的三种思想方法
► 类型一 分类讨论与等腰三角形
1．等腰三角形两边的长分别为 5 和 6，则其周长为________．
2．等腰三角形两边的长分别为 4 和 9，则其周长为________．
3．若等腰三角形的一个内角为 70°，则其顶角的度数为________．
4．若等腰三角形的一个角为 100°，则其底角的度数为________．
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，则其顶角的度数为________．
图 4－ZT－1
6．如图 4－ZT－1 所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A，B 是两个格
点，如果 C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形，那么点 C 的个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
► 类型二 方程思想
7．如图 4－ZT－2，点 K，B，C 分别在 GH，GA，KA 上，且 AB＝AC，BG＝BH，KA＝KG，
求∠A 的度数．2
图 4－ZT－2
8．如图 4－ZT－3，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，且 AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE.求∠A
的度数．
图 4－ZT－3
9．如图 4－ZT－4，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，AD＝BC.
(1)求∠B 的度数；
(2)若点 E 在 BC 的延长线上，且 CE＝CD，连结 AE，求∠CAE 的度数．
图 4－ZT－4
► 类型三 转化思想
一、运用“三线合一”进行转化
10．如图 4－ZT－5，△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，E，F 分别是 AB，AC 上的点，
且 AE＝AF.求证：DE＝DF.
图 4－ZT－53
11．如图 4－ZT－6，△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，过点 A 的直线 EF∥BC，且 AE
＝AF.连结 DE，DF.
求证：DE＝DF.
图 4－ZT－6
12．如图 4－ZT－7，△ABC 中，AB＝AC，点 D，E，F 分别在 BC，AB，AC 上，且 BD＝
CF，BE＝CD，G 是 EF 的中点，求证：DG⊥EF.
图 4－ZT－7
二、用截长补短法构造等腰三角形进行转化
13．如图 4－ZT－8，△ABC 中，∠BAC＝120°，AD⊥BC 于点 D，且 AB＋BD＝DC，求∠C
的度数．
图 4－ZT－8
14．如图 4－ZT－9，△ABC 中，∠C＝2∠A，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，求证：AB＝CD
＋BC.4
图 4－ZT－9
15．已知△ABC 中，AC＝BC，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，E 为 AB 上一点，且∠EDB＝
∠B，现有下列两个结论：①AB＝AD＋CD；②AB＝AC＋CD.
(1)如图 4－ZT－10①，若∠C＝90°，则结论________成立；(不证明)
(2)如图②，若∠C＝100°，则结论________成立，请证明．
图 4－ZT－105
详解详析
1．16 或 17
2．22
3．40°或 70°
4．40°
5．[答案] 45°或 135° [解析] 腰上的高分在三角形内和三角形外两种情况．
6．[解析] A 分两种情况讨论：
①AB 为等腰直角三角形的底边时，符合条件的点 C 有 2 个；②AB 为等腰直角三角形的
一腰时，符合条件的点 C 有 4 个．
7．解：设∠A＝x.
∵KA＝KG，BG＝BH，∴∠G＝∠H＝∠A＝x，
∴∠ABC＝∠HKC＝2x.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
又∠ACB＝∠KCH，
∴∠KCH＝2x.
∵∠H＋∠HKC＋∠KCH＝180°，
∴5x＝180°，∴x＝36°.
即∠A＝36°.
8．解：∵AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，
∴∠ABC＝∠C＝∠CDB，∠EBD＝∠EDB，∠A＝∠AED.6
设∠EBD＝∠EDB＝x，
则∠A＝∠AED＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠CDB＝3x，
∴∠DBC＝∠ABC－∠EBD＝2x.
∵∠CDB＋∠DBC＋∠C＝180°，
∴3x＋2x＋3x＝180°，∴x＝22.5°，
∴∠A＝45°.
9．解：(1)连结 BD，设∠BAC＝x.
由题意知 AD＝BD.
又∵AD＝BC，∴AD＝BD＝BC，
∴∠BAC＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠BCD＝2x.
∵AB＝AC，∴∠BCD＝∠ABC＝2x.
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝x.
∵∠DBC＋∠BCD＋∠BDC＝180°，
∴5x＝180°，∴x＝36°，
∴∠BAC＝36°，∠ABC＝72°.
(2)连结 DE.由(1)可得∠ACB＝72°.
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝36°＝∠DBC，
∴BD＝DE＝AD，
∴∠CAE＝
1
2∠CDE＝18°.
10．证明：连结 AD.∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，
∴AD 平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD.7
又∵AE＝AF，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD，
∴DE＝DF.
11．证明：连结 AD，易得 AD⊥BC.
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF.
又∵AE＝AF，
∴AD 是 EF 的垂直平分线，
∴DE＝DF.
12．证明：连结 DE，DF.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
又∵BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED≌△CDF，
∴ED＝DF.
∵G 是 EF 的中点，
∴EG＝FG，
∴DG⊥EF.
13．解：方法一(截长法)：在 CD 上取点 E，使 DE＝BD，连结 AE，易得 CE＝AB＝AE，
∴∠CAE＝∠C，
∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.
∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE＝2(90°－∠AED)＋∠CAE＝2(90°－2∠C)＋∠C＝
120°，
∴∠C＝20°.
方法二(补短法)：延长 DB 至点 F，使 BF＝AB，则∠F＝∠FAB，AB＋BD＝DF＝DC.8
又∵AD⊥BC，∴AF＝AC，
∴∠C＝∠F＝∠FAB.
又∵∠F＋∠C＋∠FAB＋∠BAC＝180°，
∴∠C＝20°.
14．证明：方法一(截长法)：在 AB 上截取 BE＝BC.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD.
又∵BD＝BD，BE＝BC，
∴△BED≌△BCD，
∴ED＝CD，∠BED＝∠C.
∵∠C＝2∠A，∠BED＝∠A＋∠ADE，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝ED＝CD，
∴AB＝AE＋BE＝CD＋BC.
方法二(补短法)：延长 BC 至点 F，使 CF＝CD，连结 DF，同方法一可证△BDA≌△BDF.
又∵DC＝CF，则 AB＝BF＝CD＋BC.
15．解：(1)②
(2)①
证明：方法一(截长法)：∵AC＝BC，∠C＝100°，
∴∠BAC＝∠B＝40°.
∵∠EDB＝∠B，
∴DE＝BE，∠DEA＝2∠B＝80°.
∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝20°，
∴∠ADE＝180°－20°－80°＝80°＝∠DEA，9
∴AD＝AE.
在 AB 上截取 AM＝AC，连结 MD.
易得△CAD≌△MAD.
∴CD＝MD，∠DMA＝∠C＝100°，
∴∠DME＝∠DEM＝80°，
∴DM＝DE，∴CD＝BE，
∴AB＝AE＋BE＝AD＋CD.
方法二(作垂线)：同方法一可得 AD＝AE，BE＝ED.
过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，DG⊥AC，交 AC 的延长线于点 G，
则∠DGC＝∠DFE＝90°.
又∵AD＝AD，∠CAD＝∠BAD＝20°，
∴△DAG≌△DAF，
∴DG＝DF.
又∵易得∠DCG＝∠DEF＝80°，∠DGC＝∠DFE，
∴△DCG≌△DEF，
∴CD＝ED＝BE，
∴AB＝AE＋BE＝AD＋CD.10
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