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[13.2 6.斜边直角边]
一、选择题
1．在下列条件中不能判定直角三角形全等的是( )
A．两条直角边分别相等
B．斜边和一个锐角分别相等
C．两个锐角分别相等
D．斜边和一条直角边分别相等
2．如图 K－28－1，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则判定△ABC≌△DCB 的依据是( )
A．H.L. B．A.S.A.
C．A.A.S. D．S.A.S.
图 K－28－1
3．如图 K－28－2，若要用“H.L.”证明 Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件( )
图 K－28－2
A．∠BAC＝∠BAD
B．AC＝AD 或 BC＝BD
C．∠ABC＝∠ABD
D．以上都不正确2
4．如图 K－28－3，已知 BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝8 cm，DE＝6 cm，则 AC 等于
( )
A．10 cm B．12 cm
C．14 cm D．16 cm
图 K－28－3
5．如图 K－28－4，在△ABC 中，P 是 BC 上的点，作 PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是 R，
S，若 PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②RB＝SC；③PB＝PC.其中正确的有( )
图 K－28－4
A．3 个 B．2 个
C．1 个 D．0 个
二、填空题
6．在△ABC 与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，BC＝B′C′，再添加一个条件，使
△ABC≌△A′B′C′，写出所有可能添加的条件：________________________________．
7．如图 K－28－5，在四边形 ABCD 中，AD＝CB，DE⊥AC 于点 E，BF⊥AC 于点 F，且 DE＝
BF，则图中的全等三角形共有________对，其中可根据“H.L.”推出的全等三角形有________
对．
图 K－28－5
8．如图 K－28－6 所示，有一个直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，
P ，Q 两点分别在 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AM 上运动，线段 PQ ＝AB ，当 AP ＝
________cm 时，才能使△ABC≌△QPA3
图 K－28－6
三、解答题
9．如图 K－28－7 所示，已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且 BD＝CD，DE⊥AB，DF
⊥AC，垂足分别为 E，F.试说明 EB＝FC.链接听课例1归纳总结
图 K－28－7
10．如图 K－28－8，点 E，A，D，B 在同一条直线上，CA⊥EB，FD⊥EB，CA＝FD，CE＝
FB.
求证：BC＝EF.
图 K－28－8
11．如图 K－28－9，已知 AD，AF 分别是钝角三角形 ABC 和钝角三角形 ABE 的高，如果
AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.
图 K－28－94
12．如图 K－28－10，已知在△ABC 和△A′B′C′中，CD，C′D′分别是边 AB，A′B′
上的高，并且 AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
图 K－28－10
【拓展运用】2017·河南期中学习了三角形全等的判定方法(“S.A.S.” “A.S.A.”
“A.A.S.”“S.S.S.”)和直角三角形全等的判定方法(“H.L.”)后，我们继续对“两个三角
形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】5
我们不妨将问题用符号语言表示：△ABC 和△DEF 中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然
后对∠B 进行分类，可分为∠B 是“直角、钝角、锐角”三种情况探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC≌△DEF.
(1)如图 K－28－11，在△ ABC 和△DEF 中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据
________可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF.
图 K－28－11
第二种情况，当∠B 是钝角时，△ABC≌△DEF.
(2)如图 K－28－12，在△ABC 和△DEF 中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E 都
是钝角．
求证：△ABC≌△DEF.
图 K－28－12
第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．
(3)△ABC 和△DEF 中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E 都是锐角，请你用尺
规作图法在图 K－28－13 中作出△DEF，使△DEF 和△ABC 不全等．(不写作法，保留作图痕
迹)
图 K－28－13
(4)∠B 还满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请你写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC
＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E 都是锐角，若____________，则△ABC≌△DEF.67
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．C
2．A
3．[解析] B 从图中可知 AB 为 Rt△ABC 和 Rt△ABD 的斜边，也是公共边，根据“H.L.”
定理证明 Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对相等的直角边，即 AC＝AD 或 BC＝BD.故选 B.
4．[解析] C 在 Rt△DEB 和 Rt△CEB 中，
∵BE＝BE，BD＝BC，∴Rt△DEB≌Rt△CEB，∴DE＝CE，∴AC＝AE＋CE＝AE＋DE＝8＋6＝
14(cm)．
5．[全品导学号：90702263] C
6．AC＝A′C′或∠B＝∠B′或∠A＝∠A′或 AB＝A′B′
7．3 2
8．5
9．解：因为 AD 是∠BAC 的平分线，
所以∠DAE＝∠DAF.
因为 DE⊥AB，DF⊥AC，
所以∠AED＝∠AFD＝90°.
又因为 AD＝AD，所以△AED≌△AFD，
所以 DE＝DF.
在 Rt△DEB 和 Rt△DFC 中，
因为 BD＝CD，∠DEB＝∠DFC＝90°，DE＝DF，
所以 Rt△DEB≌Rt△DFC(H.L.)，
所以 EB＝FC.
10．证明：∵CA⊥EB，FD⊥EB，8
∴∠CAB＝∠FDE＝90°，
∠CAE＝∠FDB＝90°.
在 Rt△ACE 和 Rt△DFB 中，
∵CA＝FD，CE＝FB，
∴Rt△ACE≌Rt△DFB，
∴AE＝DB，
∴AE＋AD＝DB＋AD，
即 DE＝AB.
又∵CA＝FD，∠BAC＝∠EDF，
∴△ACB≌△DFE，
∴BC＝EF.
11．证明：∵AD，AF 分别是钝角三角形 ABC 和钝角三角形 ABE 的高，
∴∠ADB＝∠AFE＝90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，
∵AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(H.L.)，
∴CD＝EF.
在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，
∵AB＝AB，AD＝AF，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(H.L.)
∴BD＝BF，
∴BD－CD＝BF－EF，
即 BC＝BE.
12．证明：在 Rt△ACD 和 Rt△A′C′D′中，9
∵AC＝A′C′，CD＝C′D′，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′(H.L.)，
∴∠CAD＝∠C′A′D′.
在△ABC 和△A′B′C′中，
∵∠BAC＝∠B′A′C′，AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′(A.S.A.)．
[素养提升]
解：(1)H.L.
(2)证明：如图①，过点 C 作 CG⊥AB，交 AB 的延长线于点 G，过点 F 作 FH⊥DE，交 DE
的延长线于点 H.
∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC，∠DEF 都是钝角，
∴180°－∠ABC＝180°－∠DEF，
即∠CBG＝∠FEH.
在△CBG 和△FEH 中，
∵∠CBG＝∠FEH，∠G＝∠H＝90°，BC＝EF，
∴△CBG≌△FEH(A.A.S.)，
∴CG＝FH.
在 Rt△ACG 和 Rt△DFH 中，
∵AC＝DF，CG＝FH，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(H.L.)，
∴∠A＝∠D，
在△ABC 和△DEF 中，
∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠DEF，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF(A.A.S.)．10
(3)如图②所示，△DEF 和△ABC 不全等．
(4)∠B≥∠A
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