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专题训练(三) 全等三角形的基本
模型
► 模型一 平移模型
常见的平移模型：
图 3－ZT－1
1．如图 3－ZT－2，点 B 在线段 AD 上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E.
图 3－ZT－22
2．如图 3－ZT－3，点 A，B，C，D 在同一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：AE＝BF.
图 3－ZT－3
► 模型二 轴对称模型
常见的轴对称模型：
图 3－ZT－4
3 ．如图 3 －ZT －5 ，∠B ＝∠D ，请添加一个条件( 不得添加辅助线) ，使得△ABC≌△ADC，
并说明理由．
图 3－ZT－53
4．如图 3－ZT－6，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，AD＝AE.求证：BE＝CD.
图 3－ZT－6
5．如图 3－ZT－7，A，C，D，B 四点共线，且 AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.求证：
DE＝CF.
图 3－ZT－74
6．如图 3－ZT－8，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为 E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC.
图 3－ZT－8
► 模型三 旋转模型
常见的旋转模型：
图 3－ZT－9
7．如图 3－ZT－10，已知 AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE.5
图 3－ZT－10
► 模型四 一线三等角模型
图 3－ZT－11
8．如图 3－ZT－12，B，C，E 三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.
(1)求证：BC＝DE；
(2)若∠A＝40°，求∠BCD 的度数．6
图 3－ZT－12
► 模型五 综合模型
平移＋对称模型： 平移＋旋转模型：
图 3－ZT－13
图 3－ZT－14
9．如图 3－ZT－15，点 B，F，C，E 在同一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：
AC＝DF.
图 3－ZT－157
10．如图 3－ZT－16，AB＝BC，BD＝CE，AB⊥BC，CE⊥BC.求证：AD⊥BE.
图 3－ZT－1689
详解详析
1．证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D.
在△ABC 和△EDB 中，
∵AB＝DE，∠ABC＝∠D，BC＝DB，
∴△ABC≌△EDB(S.A.S.)，
∴∠A＝∠E.
2．证明：∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD.
∵CE∥DF，∴∠D＝∠ACE.
∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，
即 AC＝BD.
在△ACE 和△BDF 中，
∵∠A＝∠FBD，AC＝BD，∠D＝∠ACE，
∴△ACE≌△ABDF(A.S.A.)，
∴AE＝BF.
3．解：答案不唯一，如添加∠BAC＝∠DAC.
理由：在△ABC 和△ADC，
∵∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(A.A.S.)．
4．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
在△ADB 和△AEC 中，
∵∠ADB＝∠AEC，AD＝AE，∠A＝∠A，10
∴△ADB≌△AEC(A.S.A.)，
∴AB＝AC.
又 AD＝AE，
∴AB－AE＝AC－AD，
即 BE＝CD.
5．证明：∵AC＝BD，
∴AC＋CD＝BD＋CD，
即 AD＝BC.
在△AED 和△BFC 中，
∵∠A＝∠B，
AD＝BC，
∠ADE＝∠BCF，
∴△AED≌△BFC(A.S.A.)，
∴DE＝CF.
6．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BEA＝∠CDA＝90°.
又∵∠A＝∠A，BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴AB＝AC.
7．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中，
∵∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，11
∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE.
8．解：(1)证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D.
∵∠ACD＝∠B，
∴∠D＝∠B.
在△ABC 和△CDE 中，
∵∠ACB＝∠E，∠B＝∠D，AC＝CE，
∴△ABC≌△CDE(A.A.S.)，
∴BC＝DE.
(2)∵△ABC≌△CDE，
∴∠A＝∠DCE＝40°，
∴∠BCD＝180°－40°＝140°.
9．证明：∵FB＝CE，
∴FB＋FC＝CE＋FC，∴BC＝EF.
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE.
在△ABC 和△DEF 中，
∵∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴△ABC≌△DEF(A.S.A.)，
∴AC＝DF.
10．证明：设 AD，BE 交于点 F.
∵AB⊥BC，CE⊥BC，∴∠ABD＝∠C＝90°.
在△ABD 和△BCE 中，
∵AB＝BC，∠ABD＝∠C，BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，12
∴∠A＝∠CBE.
∵∠CBE＋∠ABE＝90°，
∴∠A＋∠ABE＝90°，
则∠AFB＝90°，
∴AD⊥BE.
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