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[14.1 1. 第 1 课时 探索直角三角形三边的关系]
一、选择题
1．如图 K－37－1，三个正方形中，S1＝25，S2＝144，则 S3 为( )
A．169 B．13
C．9 D．不能确定
图 K－37－1
2．如图 K－37－2，△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线．已知 AB＝5，AD＝3，则
BC 的长为( )
图 K－37－2
A．5 B．6 C．8 D．10
3．如图 K－37－3，已知网格图中每个小正方形的边长为 1，则△ABC 的三边 a，b，c
的大小关系是( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．c＜a＜b D．c＜b＜a2
图 K－37－3
4．如图 K－37－4，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，边 AC 落在数轴上，点 A 表
示的数是 1，点 C 表示的数是 3.以点 A 为圆心、AB 长为半径画弧交数轴的负半轴于点 B1，
则点 B1 所表示的数是( )
图 K－37－4
A．－2 B．－ 8
C．1－ 8 D. 8－1
5．2016·宜宾如图 K－37－5，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC 绕点
A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B，D 两点间的距离为
( )
A. 10 B. 8 C．3 D. 20
图 K－37－5
6．如图 K－37－6，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，DE 是 AB 边的垂直平
分线，垂足为 D，交 BC 于点 E，连结 AE，则△ACE 的周长为( )
图 K－37－6
A．16 B．15 C．14 D．13
二、填空题3
7．2016·甘孜州直角三角形斜边长是 5，一直角边长是 3，则此直角三角形的面积为
________．
图 K－37－7
8．如图 K－37－7，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点 A 为圆心，AC 长为
半径作圆弧交边 AB 于点 D，则 BD 的长为________．
9．2017·山西农业大学附属中期末如果等腰三角形腰长为 10 cm，底边长为 16 cm，那
么它的面积为________cm2.
图 K－37－8
10．如图 K－37－8，已知△ABC 是腰长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt△ABC 的斜边 AC
为直角边，画第二个等腰直角三角形 ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等
腰直角三角形 ADE……依此类推，则第 2018 个等腰直角三角形的斜边长是________．
三、解答题
11．在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 所对的边，且 a＝3，b
＝ 7，求 c 的值.
12．在 Rt△ABC 中，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 所对的边，且 a＝5，b＝12，求 c
的值．4
13 ．如图 K －37 －9 ，BC 的长为 3 ，AB 的长为 4 ，AF 的长为 13. 求正方形 CDEF 的面
积．
图 K－37－9
14．如图 K－37－10，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，∠B＝60°，∠C＝45°.
(1)求∠BAC 的度数；
(2)若 AC＝2，求 AD 的长．
图 K－37－10
15．如图 K－37－11，已知 AB＝12，AB⊥BC 于点 B，AB⊥AD 于点 A，AD＝5，BC＝10.E
是 CD 的中点，求 AE 的长．
图 K－37－115
16．如图 K－37－12，将边长为 8 cm 的正方形 ABCD 折叠，使 D 落在 BC 边的中点 E 处，
点 A 落在 F 处，折痕为 MN，求线段 CN 的长．
图 K－37－12
阅读
如图 K－37－13 所示的情景对话，然后解答问题：
图 K－37－13
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题“等边三角形一定是奇异三
角形”是真命题还是假命题；(直接给出结论，不必证明)
(2)如图 K－37－14，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且 b＞a，
若 Rt△ABC 是奇异三角形，求 a∶b∶c.
图 K－37－146
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．A
2．[解析] C ∵AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD.
∵AB＝5，AD＝3，
∴根据勾股定理，得 BD＝ AB2－AD2＝4，
∴BC＝2BD＝8.
故选 C.
3．C
4．[解析] C 由数轴知 AC＝2.
根据勾股定理，得 AB2＝22＋22＝8，
所以 AB＝ 8，
所以点 A 表示的数为 1－ 8.
5．[解析] A 如图，连结 BD.
因为∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
所以 AB＝ AC2＋BC2＝ 42＋32＝5.
因为 AE＝AC＝4，DE＝3，AB＝5，
所以 BE＝1.
又∠DEA＝∠C＝90°，所以∠DEB＝90°，
所以 BD＝ DE2＋BE2＝ 9＋1＝ 10.7
故选 A.
6．
[解析]A 因为△ACE 的周长＝AC＋AE＋CE，已知 AC＝6，所以欲求△ACE 的周长，需要
再求 AE＋CE.因为 DE 垂直平分 AB，所以 AE＝BE，所以 AE＋CE＝BE＋CE＝BC，因此只需要求
出 BC 的长即可．由勾股定理，得 BC＝ AB2＋AC2＝10，所以△ACE 的周长为 6＋10＝16.
故选 A.
7．[答案] 6
[解析] ∵直角三角形斜边长是 5，一直角边长是 3，∴另一直角边长为 52－32＝4.该
直角三角形的面积 S＝
1
2×3×4＝6.
8．[答案] 4
[解析] 由勾股定理，得 AB＝ AC2＋BC2＝ 62＋82＝10.由作图知 AC＝AD，
所以 BD＝AB－AD＝AB－AC＝10－6＝4.
9．[答案] 48
[解析] 作底边上的高，由勾股定理，得高为 102－82＝6，所以三角形的面积为
1
2×16×6
＝48(cm2)．
新课标(HS)/ 数学 / 八年级上册 QUANPIN XUELIANKAO
10． ( 2)2018
11．[解析] 由于∠A＝90°，此时勾股定理的表达式应为 b2＋c2＝a2.
解：在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，根据勾股定理，得 b2＋c2＝a2，
从而有 c＝ a2－b2＝ 32－（ 7）2＝ 2.
[点评] 本题容易出现如下错解：根据勾股定理，得 a2＋b2＝c2，从而有 c＝ a2＋b2＝
32＋（ 7）2＝4.
12．[解析] 本题没有明确哪个角为直角，由 b＞a 知∠C 可能为直角，∠B 也可能为直
角，所以分两种情况讨论．
解：需分两种情况进行讨论：
(1)当∠C 为直角时，由勾股定理，得 c＝ a2＋b2＝ 169＝13；8
(2)当∠B 为直角时，由勾股定理，得 c＝ b2－a2＝ 122－52＝ 119.
综上可知，c＝13 或 c＝ 119.
13．解：在 Rt△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝25，所以 AC＝5.
在 Rt△FAC 中，FC2＝AF2＋AC2＝132＋52＝194，即正方形 CDEF 的面积为 194.
14．解：(1)∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－60°－45°＝75°.
(2) ∵AD⊥BC，
∴△ADC 是直角三角形．
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AD＝CD.
根据勾股定理，得 AD2＋CD2＝AC2，
即 2AD2＝22，
∴AD＝ 2.
15．解：如图，
延长 AE 交 BC 于点 F.
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE.
∵E 是 CD 的中点，
∴DE＝CE.
在△AED 与△FEC 中，
∵∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，DE＝CE，9
∴△AED≌△FEC(A.A.S.)，
∴AE＝FE，AD＝FC.
∵AD＝5，BC＝10，
∴BF＝5.
在 Rt△ABF 中，
AF＝ AB2＋BF2＝ 122＋52＝13，
∴AE＝
1
2AF＝6.5.
16．解：设 CN＝x cm，
则 DN＝(8－x)cm.
由折叠的性质知 EN＝DN＝(8－x)cm.
因为 E 为 BC 的中点，
所以 EC＝
1
2BC＝4 cm.
在 Rt△ECN 中，由勾股定理，得 EN2＝EC2＋CN2，
即(8－x)2＝16＋x2，解得 x＝3.
即线段 CN 的长为 3 cm.
[素养提升]
解：(1)真命题．
(2)在 Rt△ABC 中，a2＋b2＝c2.
∵c＞b＞a＞0，∴2c2＞a2＋b2，2a2＜b2＋c2，
∴若 Rt△ABC 为奇异三角形，则一定有 2b2＝a2＋c2，
∴2b2＝a2＋(a2＋b2)，
∴b2＝2a2，b＝ 2a，
则 c2＝b2＋a2＝3a2，
∴c＝ 3a，10
∴a∶b∶c＝1∶ 2∶ 3.
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