1
[14.2 第 2 课时 勾股定理在数学中的应用]
一、选择题
图 K－42－1
1．如图 K－42－1，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影
部分的面积是( )
A．19 B．13 C．31 D．35
2．如果直角三角形的斜边长为 20 cm，两条直角边长之比为 3∶4，那么这个直角三角
形的周长为( )
A．27 cm B．30 cm
C．40 cm D．48 cm
3．如图 K－42－2 是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC
折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．10 cm
图 K－42－2
4．如图 K－42－3，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，D 是线段 BC 上的动点(不含端点
B，C)．若线段 AD 的长为正整数，则符合条件的点 D 共有( )
2
图 K－42－3
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
5．如图 K－42－4，在 5×5 的正方形网格中，从在格点上的点 A，B，C，D 中任取三点，
所构成的三角形是直角三角形的个数是( )
图 K－42－4
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．2016·烟台如图 K－42－5，O 为数轴原点，A，B 两点分别对应－3，3，作腰长为 4
的等腰三角形 ABC，连结 OC，以 O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点 M，则点 M 对应的实
数为________．
图 K－42－5
7．如图 K－42－6，四边形 ABCD 中，AB∥DC，∠B＝90°，连结 AC，∠DAC＝∠BAC.若
BC＝4 cm，AD＝5 cm，则 AB＝________cm.
图 K－42－6
8．如图 K－42－7，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，过顶点 A 的直线 DE∥BC，∠ABC，∠
ACB 的平分线分别交 DE 于点 E，D，若 AC＝6，BC＝10，则 DE 的长为________．
图 K－42－73
9．如图 K－42－8，正方形 A1B1B2C1，正方形 A2B2B3C2，正方形 A3B3B4C3，…，正方形 AnBnBn＋1Cn
按图放置，使点 A1，A2，A3，A4，…，An 在射线 OA 上，点 B1，B2，B3，B4，…，Bn 在射线 OB
上．若∠AOB＝45°，OB1＝1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作 S1，S2，S3，
S4，…，Sn，则 Sn＝________．
图 K－42－8
三、解答题
10．如图 K－42－9 所示，阴影(半圆)部分的面积是多少？(π取 3)
图 K－42－9
11．如图 K－42－10，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫
做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形并涂上阴影．
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②、图③中，分别画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数(两个三角形
不全等).链接听课例1归纳总结
图 K－42－104
12．如图 K－42－11，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.如果以此直角三角形三边为边，分别
作三个等边三角形(如图 K－42－11)，其面积分别为 S1，S2，S3，那么 S1，S2，S3 之间有什
么关系？
图 K－42－11
13．如图 K－42－12，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.
求证：AB＝BC.
图 K－42－12
14．把一张长方形纸片 ABCD 按如图 K－42－13 所示的方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，
折痕为 EF.若 AB＝3 cm，BC＝5 cm，求重叠部分△DEF 的面积.链接听课例3归纳总结5
图 K－42－13
15．如图 K－42－14，已知 D，F 分别是△ABC 的边 BC 上两点，E 是边 AC 上一点，∠BFE＝
∠FEA，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AE＝10，DF＝4.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求△ABC 的面积．
图 K－42－14
探究题如图 K－42－15，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，其底边长为 8 cm，腰长为 5
cm，一动点 P 在底边上从点 B 出发向点 C 以 0.25 cm/s 的速度移动，请你探究：当点 P 运动
多长时间时，点 P 与顶点 A 的连线 PA 与腰垂直．
图 K－42－156
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．A
2．[解析] D 设两条直角边长分别为 3x cm，4x cm，根据勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝
202，解得 x＝4，则两条直角边的长分别为 12 cm，16 cm，所以这个直角三角形的周长为 48
cm.
3．B
4．[解析] C 如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝
1
2BC＝4，
∴AE＝ AC2－EC2＝ 52－42＝3.
∵D 是线段 BC 上的动点(不含端点 B，C)，
∴3≤AD＜5.
∵线段 AD 的长为正整数，
∴AD＝3 或 4，
当 AD＝3 时，点 D 就在点 E 的位置，
当 AD＝4 时，点 D 在点 E 的两侧各有一个位置，
∴符合条件的点 D 共有 3 个．故选 C.
5．[解析] C 从点 A，B，C，D 中任取三点能组成三角形的一共有 4 种可能，其中只有
△ABD，△ADC，△ABC 是直角三角形．
6．[答案] 77
[解析] ∵△ABC 为等腰三角形，OA＝OB＝3，∴OC⊥AB.
在 Rt△OBC 中，OC＝ BC2－OB2＝ 42－32＝ 7.
∵以 O 为圆心，OC 长为半径画弧交数轴于点 M，
∴OM＝OC＝ 7，
∴点 M 对应的实数为 7.
7．8 8.14
9．[答案] 22n－3
[解析] ∵OB1＝1，△OB1A1 是等腰直角三角形，
∴A1B1＝1.
∵四边形 A1B1B2C1 是正方形，∴A1C1＝1.
∵△A1C1A2 是等腰直角三角形，
∴S1＝
1
2×1×1＝
1
2.
同理 A2C2＝2，A3C3＝22，A4C4＝23，…，AnCn＝2n－1，
∴Sn＝
1
2×2n－1×2n－1＝22n—3.
10．解：(1)(2)题答案直角三角形的斜边长为 62＋82＝10，
那么阴影部分的面积为
1
2×π×(10
2 ) 2
≈37.5.
11．解：(1)(2)题答案如图，答案不唯一．
12．解：∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
∴AB2＝AC2＋BC2.
根据等边三角形面积计算公式得 S3＝
3
4 AB2，8
S1＝
3
4 AC2，S2＝
3
4 BC2，
∴S1＋S2＝
3
4 (AC2＋BC2)＝
3
4 AB2＝S3，
故 S1＋S2＝S3.
13．证明：连结 AC.
∵∠ABC＝90°，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∵CD⊥AD，
∴AD2＋CD2＝AC2.
又∵AD2＋CD2＝2AB2，
∴AB2＋BC2＝2AB2，
即 BC2＝AB2.
∵CB＞0，AB＞0，
∴AB＝BC.
14．解：由长方形纸片的折叠可得 A′D＝AB，A′E＝AE.
在 Rt△A′DE 中，
由勾股定理，得 A′D2＋A′E2＝DE2，AE＋DE＝AD.
设 DE＝x，
则 A′E＝AD－DE＝5－x.
则 32＋(5－x)2＝x2，
解得 x＝3.4，
即 DE＝3.4，
所以 S△DEF＝
1
2DE·AB＝
1
2×3.4×3＝5.1(cm2)．
即重叠部分△DEF 的面积是 5.1 cm2.9
15．解：(1)证明：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝BD2＋AD2，
∴△ABD 是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC.
(2)∵∠BFE＝∠FEA，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE.
设 CE＝CF＝x.
∵∠ADC＝90°，
∴AD2＋CD2＝AC2，
即 122＋(x＋4)2＝(10＋x)2，
解得 x＝5，
∴BC＝5＋4＋5＝14，
∴S△ABC＝
1
2BC·AD＝84.
[素养提升]
解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
∵AB＝AC，BC＝8 cm，
∴BD＝CD＝
1
2BC＝4 cm.
由勾股定理，得 AD＝ 52－42＝3(cm)．
分两种情况：(1)如图①，当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AC 时，
∵AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2，
∴PD2＋32＝(PD＋4)2－52，∴PD＝2.25 cm，
∴BP＝4－2.25＝1.75，10
∴0.25t＝1.75，解得 t＝7.
(2)当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AB 时，如图②，同理可得 PD＝2.25，∴BP＝4＋2.25＝
6.25，
∴0.25t＝6.25，解得 t＝25.
综上所述，当点 P 运动的时间为 7 s 或 25 s 时，点 P 与顶点 A 的连线与腰垂直．
微信/支付宝扫码支付