1
[12.3 2.两数和(差)的平方]
一、选择题
1．运用乘法公式计算(x＋3)2 的结果是( )
A．x2＋9 B．x2－6x＋9
C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9
2．在下列各式中，与(－a＋2b)2 相等的是( )
A．a2－4ab＋4b2 B．a2－4b2
C．a2＋4b2 D．a2－2ab＋4b2
3．2017·福建长泰一中、华安一中联考若(x－2y)2＝x2－xy＋4y2＋M，则 M 为( )
A．xy B．－xy C．3xy D．－3xy
4．将一张边长为 a cm(a>2)的正方形图片各边都减小 2 cm，则缩小后的图片面积减少了
( )
A．(4a－4)cm2 B．4 cm2
C．(a2－4)cm2 D．(2a－4)cm2
5．若(a＋b)2 加上一个单项式后等于(a－b)2，则这个单项式为( )
A．2ab B．－2ab C．4ab D．－4ab
6．已知(x＋m)2＝x2＋nx＋36，则 n 的值为( )
A．±6 B．±12 C．±18 D．±72
7．计算(a＋2b)2＋(a－2b)2 的结果是( )
A．2a2 B．4b2
C．2a2－8b2 D．2a2＋8b2
8．2017·淄博若 a＋b＝3，a2＋b2＝7，则 ab 等于( )
A．2 B．1 C．－2 D．－12
二、填空题
9．计算：(x＋1)2＝________；(m－3n)2＝________.
10．计算：(x＋4)(x－4)－(x－4)2＝________．
11．(1)x2＋49＋________＝(x＋7)2；
(2)(x－y)2＋________＝(x＋y)2.
12．若(3x－1)2＝ax2＋bx＋c，则 a＋b＋c＝________．
13．4 个数 a，b，c，d 排列成|a c
b d |，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为
|a c
b d |＝ad－bc.若|x＋3 x－3
x－3 x＋3|＝12，则 x＝________．
图 K－14－1
14．请你观察图 K－14－1 所示的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便
可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是_____________________.
三、解答题
15．计算：
(1)2017·重庆(1)x(x－2y)－(x＋y)2；
(2)(3－2x＋y)(3＋2x－y)．3
16．用公式简化计算：
(1)10032； (2)982.
链接听课例2归纳总结
17．先化简，再求值：
(1)(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2，其中 a＝－1，b＝
1
2；
(2)2017·眉山(a＋3)2－2(3a＋4)，其中 a＝－2.
18．(1)已知(x＋y)2＝3，xy＝1，求 x2＋y2 的值；
(2)已知 x＋y＝12，x－y＝4，不解出 x，y 的值，求 xy 的值.
19．观察下列各式：1×2×3×4＋1＝25＝52；2×3×4×5＋1＝121＝112；3×4×5×6＋
1＝361＝192；…
根据上述算式所反映出的规律，猜想“任意四个连续正整数的积与 1 的和一定是一个完
全平方数”，你认为这个猜想正确吗？说说你的理由．
20．学校有一个边长为 a 的正方形草坪，现将其各边增加 b，扩大草坪面积，有的同学
说：“扩建后比扩建前面积增大 b2.”你认为这种说法正确吗？若正确，请说明理由；若不
正确，请你计算出扩建后比扩建前草坪的面积增大了多少．(写出解答过程)4
21．如图 K－14－2，把一个长为 2m，宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块
小长方形，然后拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．(直接用含 m，n 的代数式表示)
方法 1：____________；方法 2：____________．
(2)根据(1)中的结论，请你写出下列三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn 之间的等量关系．
(3)根据(2)题中的等量关系，解决问题：已知实数 a，b 满足 a＋b＝3，ab＝2，求 a－b
的值．
图 K－14－2
材料阅读先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
两数和(差)的平方公式 x2±2xy＋y2＝(x±y)2 及(x±y)2 的值恒为非负数的特点在数学
学习中有着广泛的应用，比如探求多项式 2x2＋12x－4 的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式＝2(x2＋6x－2)
＝2(x2＋6x＋9－9－2)
＝2[(x＋3)2－11]
＝2(x＋3)2－22.
因为无论 x 取什么数，都有(x＋3)2 的值为非负数，
所以(x＋3)2 的最小值为 0，此时 x＝－3，5
进而 2(x＋3)2－22 的最小值是 2×0－22＝－22，
所以当 x＝－3 时，原多项式的最小值是－22.
解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式 3x2－6x＋12 的最小值是多少，并写出
对应的 x 的取值．6
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．C 2.A
3．[解析] D (x－2y)2＝x2－4xy＋4y2，所以 x2－4xy＋4y2＝x2－xy＋4y2＋M，
所以 M＝－3xy.
4．[解析] A 原图片的面积为 a2cm2，缩小后的图片的面积为(a－2)2cm2，所以减少的
面积为 a2－(a－2)2＝a2－(a2－4a＋4)＝(4a－4)cm2.
5．[解析] D 根据题意，得( a－b)2－(a＋b)2＝(a2－2ab＋b2)－(a2＋2ab＋b2)＝－
4ab.
6．B 7.D
8．[解析] B 因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，所以 ab＝
（a＋b）2－（a2＋b2）
2 ＝
32－7
2 ＝
1.
9．x2＋2x＋1 m2－6mn＋9n2
10．8x－32 11.(1)14x (2)4xy
12．[答案] 4
[解析] 方法一：取 x＝1，代入已知等式，得(3×1－1)2＝a＋b＋c，所以 a＋b＋c＝4.
方法二：已知式可化为 9x2－6x＋1＝ax2＋bx＋c，比较两边系数，得 a＝9，b＝－6，c
＝1，所以 a＋b＋c＝9－6＋1＝4.
13．1 [解析] 因为|x＋3 x－3
x－3 x＋3|＝12，所以(x＋3)2－(x－3)2＝12.
解得 x＝1.故答案为 1.
14. (x－y)2＝x2－2xy＋y2
15．解：(1)原式＝x2－2xy－(x2＋2xy＋y2)＝x2－2xy－x2－2xy－y2＝－4xy－y2.
(2)原式＝9－(2x－y)2＝9－4x2＋4xy－y2.7
16．解：(1)原式＝(1000＋3)2
＝10002＋2×1000×3＋32
＝1006009.
(2)原式＝(100－2)2
＝1002－2×100×2＋22
＝9604.
17．解：(1)(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2＝2a2＋2ab.
当 a＝－1，b＝
1
2时，
原式＝2×(－1)2＋2×(－1)×
1
2＝1.
(2)原式＝a2＋6a＋9－6a－8＝a2＋1.
当 a＝－2 时，原式＝(－2)2＋1＝5.
18．[解析] 如果要先求出 x，y 的值再代入，现阶段同学们是无能为力的，若应用乘法
公式的变形就可使问题迎刃而解了．
解：(1)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝3－2×1＝1.
(2)因为(x＋y)2－(x－y)2＝4xy，
所以 122－42＝4xy，
所以 4xy＝128，即 xy＝32.
19．解：正确．
理由：设四个连续的正整数为 n，n＋1，n＋2，n＋3，则 n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1
＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1
＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1
＝(n2＋3n＋1)2.
20．解：不正确．扩建后正方形草坪的边长为 a＋b，
增大面积为(a＋b)2－a2＝a2＋2ab＋b2－a2＝2ab＋b2，所以扩建后比扩建前草坪的面积
增大 2ab＋b2.8
21．
解：(1)方法 1：阴影部分的面积为(m＋n)2－4mn；
方法 2：阴影部分的边长为 m－n，故阴影部分的面积为(m－n)2.
(2)(m－n)2＝(m＋n)2－4mn.
(3)∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝1，
∴a－b＝±1.
[素养提升]
解：原式＝3(x2－2x＋4)＝3(x2－2x＋1－1＋4)＝3(x－1)2＋9.
∵无论 x 取什么数，都有(x－1)2 的值为非负数，∴(x－1)2 的最小值为 0，此时 x＝1，
∴3(x－1)2＋9 的最小值为 3×0＋9＝9.
则当 x＝1 时，原多项式的最小值是 9.
微信/支付宝扫码支付