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[14.1 3.反证法]
,
一、选择题
1．命题“a＜b”的反面是( )
A．a≤b B．a＞b
C．a≥b D．a＝b
2．用反证法证明命题“如图 K－40－1，如果 AB∥CD，AB∥EF，那么 CD∥EF”时，证
明的第一个步骤是( )
图 K－40－1
A．假设 CD∥EF B．假设 CD 不平行于 EF
C．已知 AB∥EF D．假设 AB 不平行于 EF
3．利用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不小于 45°”，应先假设( )
A．直角三角形的每个锐角都小于 45°
B．直角三角形有一个锐角大于 45°
C．直角三角形的每个锐角都大于 45°
D．直角三角形有一个锐角小于 45°
4．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是( )
A．假设三角形的三个外角都是锐角
B．假设三角形的三个外角中至少有一个钝角
C．假设三角形的三个外角都是钝角
D．假设三角形的三个外角中最多有一个钝角
5．用反证法证明一个命题时，在推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用2
( )
①与结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结
论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
6．用反证法证明“ 3是无理数”时，最恰当的证法是先假设( )
A. 3是分数 B. 3是整数
C. 3是有理数 D. 3是实数
7．用反证法证明命题：“若 a，b 是整数，ab 能被 3 整除，则 a，b 中至少有一个能被
3 整除”时，假设应为( )
A．a，b 都能被 3 整除
B．a 不能被 3 整除
C．a，b 不都能被 3 整除
D．a，b 都不能被 3 整除
8．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定一个是锐角，另一个是钝角”为
假命题的两个角是( )
A．120°，60° B．95.1°，104.9°
C．90°，90° D. 30°，60°
二、填空题
9 ． 用 反 证 法 证 明 “ 在 一 个 三 角 形 中 ， 不 可 能 有 两 个 角 是 钝 角 ” 的 第 一 步 是
________________________________________________________________________．
图 K－40－2
10．已知：如图 K－40－2，直线 a，b 被直线 c 所截，∠1，∠2 是同位角，且∠1≠∠2.
求证：直线 a 不平行于直线 b.3
证明：假设_________________，
则__________(______________________)，
这与____________相矛盾，
所以__________不成立，
所以直线 a 不平行于直线 b.链接听课例1归纳总结
11．(1)用反证法证明命题时，若结论是“x＝y”，则第一步应假设____________；
(2)若结论是“a∥b”，则第一步的假设应为________________；
(3) 若命题是“ 三角形的三个内角中，最多只能有一个钝角”，则第一步应假设
____________________．
三、解答题
12．已知 m，n 是整数，m＋n 是奇数，求证：m，n 不能全为奇数．
13.阅读下列文字，回答问题．
题目：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则 AC≠BC.
证明：假设 AC＝BC.因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B，所以 AC≠BC，这与假
设矛盾，所以 AC≠BC.
上面的证明有错误吗？若没有错误，指出各步骤的证明依据；若有错误，请纠正．
14．如图 K－40－3，在△ABC 中，AB＝AC，P 是△ABC 内部的一点，且∠APB≠∠APC，
求证：PB≠PC(用反证法证明)．
图 K－40－3
15．如图 K－40－4，直线 AB 与 CD 相交于点 O，EF⊥AB 于点 F，GH⊥CD 于点 H.求证：EF
和 GH 必相交．4
图 K－40－4
16．用反证法证明：连结直线外一点和直线上各点的所有线段中垂线段最短．
推理探究能否在图 K－40－5 中的四个圆圈内填入 4 个互不相同的数，使得任意两个圆
圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填的数的平方和？如果能填，请填出一组符合
条件的数；如果不能填，请说明理由．
图 K－40－55
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．C
2．B
3．A
4．D
5．C
6．C
7．D
8．[导学号：90702317] C
9．假设一个三角形的三个内角中可能有两个钝角
10．直线 a 平行于直线 b ∠1＝∠2 两直线平行，同位角相等 ∠1≠∠2 假设
11．[导学号：90702318]
(1)x≠y
(2)a 与 b 相交
(3)三角形的三个内角中，至少有两个钝角
12．证明：假设 m，n 都为奇数，
设 m＝2a＋1，n＝2b＋1(a，b 均为整数)．
m＋n＝2(a＋b＋1)为偶数，与已知矛盾，
所以 m，n 不能全为奇数．
13．解：有错误．改正：
假设 AC＝BC.则∠A＝∠B，又∠C＝90°，
所以∠A＝∠B＝45°，这与∠A≠45°矛盾，6
所以 AC＝BC 不成立，所以 AC≠BC.
14．证明：假设 PB＝PC.
因为 AB＝AC，PB＝PC，AP＝AP，
所以△ABP≌△ACP，
所以∠APB＝∠APC，
这与条件∠APB≠∠APC 矛盾，
所以假设不成立，所以 PB≠PC.
15．证明：假设 EF 与 GH 平行．
若 EF 与 GH 平行，则它们的垂线也平行，
即 AB 与 CD 平行．
这与直线 AB 与 CD 相交于点 O 矛盾，
所以 EF 与 GH 不平行，即 EF 与 GH 相交．
16．[导学号：90702319]
解：已知：如图，P 为直线 AB 外一点，PC⊥AB 于点 C，PD 和 AB 不垂直，
求证：PC＜PD.
证明：假设 PC≥PD，
(1)当 PC＝PD 时，
那么∠PCD＝∠PDC＝90°，
即 PD⊥AB，这与 PD 和 AB 不垂直矛盾，
故 PC≠PD；
(2)当 PC＞PD 时，7
那么∠PDC＞∠PCD，
而∠PCD＝90°，
这与三角形的三个内角等于 180°矛盾．
故 PC＜PD.
[素养提升]
[导学号：90702320]
解：不能填，理由如下：
设能填出符合条件的数，设所填的互不相同的 4 个数为 a，b，c，d，
则有{a2＋c2＝b2＋d2，①
a2＋d2＝c2＋b2，②
a2＋b2＝c2＋d2，③
①－②，得 c2－d2＝d2－c2，
所以 c2＝d2.
因为 c≠d，
所以只能是 c＝－d④.
同理可得 c2＝b2.
因为 c≠b，只能 c＝－b⑤.
比较④⑤得 b＝d，与已知 b≠d 矛盾，
所以题设要求的填数方法不存在．
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