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[14.2 第 1 课时 勾股定理在生活中的应用]
一、选择题
图 K－41－1
1．如图 K－41－1，在城墙 AB 的外侧有一条宽 5 m 的护城河 BC，士兵甲将一长为 13 m
的云梯从河的对岸恰好搭在城墙的顶部，则该城墙的高为( )
A．8 m B．10 m
C．18 m D．12 m
2．现有两根木棒，长度分别为 44 cm 和 55 cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个
角为直角，所需木棒的长度最短是( )
A．22 cm B．33 cm C．44 cm D．11 cm
3．如图 K－41－2，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 30 海
里的 A 处，轮船沿正南方向航行 60 海里后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，
则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为( )
A．60 海里 B．45 海里
C. 1200海里 D. 2700海里
图 K－41－2
4．如图 K－41－3，王大伯家屋后有一块长 12 m，宽 8 m 的长方形空地，他在以长边 BC
为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在 A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊
的绳长可以选用( )2
图 K－41－3
A．9 m B．7 m C．5 m D．3 m
5．2016·北京大学附属中学河南分校期中某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它
的高为 2 m ，宽为 1.5 m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长度为
________m.
图 K－41－4
6．如图 K－41－4，一次强风中，一棵大树在离地面 3 米高处折断，树的顶端落在离树
干底部 4 米远处，那么这棵树折断之前的高度是________米．
二、填空题
图 K－41－5
7．如图 K－41－5 所示，一文物 C 被探明位于 A 点地下 24 m 处，由于 A 点地面下有障
碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离 A 点 10 m 的 B 处斜着挖掘，那么要找到文物至
少要挖________m.
8．一幢高层住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，在距住宅楼 9 米的 B 处升起云梯搭在
发生火灾的住户窗口(如图 K－41－6)，已知云梯长 15 米，云梯底部距地面 2 米，发生火灾
的住户窗口 A 离地面的距离 AF 有________米．3
图 K－41－6
9．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自
根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图 K－41－7 所示，把枯木看
作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处
缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处．则问题中葛藤的最短长度是________尺.
图 K－41－7
三、解答题
10．2017·吉林长春农安期末如图 K－41－8，为了测量池塘的宽度 DE，在池塘周围的
平地上选择了 A，B，C 三点，且 A，D，E，C 四点在同一条直线上，∠C＝90°，已测得 AB＝
100 m，BC＝60 m，AD＝20 m，EC＝10 m，求池塘的宽度 DE.
图 K－41－8
11．如图 K－41－9 是一个窗户，窗框 AB 的长为 160 厘米，窗框 BC 的长为 120 厘米，
又量得 AC 的长为 200 厘米，则∠ABC 是直角吗？为什么？
图 K－41－94
12．如图 K－41－10 所示的圆柱形玻璃杯，高为 8 cm，底面周长为 12 cm，在杯内壁离
杯底 2 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 2 cm 与蜂蜜相对的
点 A 处，求蚂蚁到达 C 处吃到蜂蜜的最短路程.链接听课例1归纳总结
图 K－41－10
13．在某小区的 A 处有一个凉亭，道路 AB，BC，AC 两两相交于点 A，B，C，并且道路 AB
与道路 BC 互相垂直，如图 K－41－11 所示．已知 A 与 B 之间的距离为 20 m，若有两个小朋
友在与点 B 相距 10 m 的点 D 处玩耍，玩累了他们分别沿不同的路线 D→B→A，D→C→A 到凉
亭 A 处喝水休息，已知路线 D→B→A 与 D→C→A 路程相等，求 AC 的长度．
图 K－41－11
如图 K－41－12，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.在 Rt△ABC 的外部拼接
一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形．要求：在两个备用图中分别画
出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．
图 K－41－125
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D 在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，
∴AC2＝BC2＋AB2，
∴AB2 ＝AC2－BC2＝132－52＝144.
故 AB＝12 m.
2．[解析] B 由题意，符合条件的最短的木棒长度＝ 552－442＝33(cm)．故选 B.
3．[解析] D 由题意可得∠B＝30°，AP＝30 海里，∠APB＝90°，AB＝60 海里，则此
时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为 BP＝ AB2－AP2＝ 2700海里．故选 D.
4．D
5．[答案] 2.5
[解析] 由勾股定理，得木板的长为 22＋1.52＝2.5(m)．
6．[答案] 8
[解析] 由勾股定理得折断的一段长为 32＋42＝5(米)，所以这棵树折断之前的高度为
3＋5＝8(米)．
7．[答案] 26
[解析] BC＝ AB2＋AC2＝ 102＋242＝26(m)．
8．14
9．25
10．解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC＝ AB2－BC2＝ 1002－602＝80(m)，
所以 DE＝AC－AD－EC＝80－20－10＝50(m)．
故 DE 为 50 m.
11．解：是．理由如下：
∵AB2＋BC2＝1602＋1202＝40000，AC2＝2002＝40000，6
∴AB2＋BC2＝ AC2，∴∠ABC 是直角．
12．解：如图，
将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′，
连结 A′C，则 A′C 的长即为最短路程，
由题意可得出 A′D＝6 cm，CD＝8 cm，
所以 A′C＝ A′D2＋CD2＝10(cm)．
故蚂蚁到达 C 处吃到蜂蜜的最短路程为 10 cm.
13．解：设 AC 的长为 x m，则 DC 的长为(30－x)m，则 BC 的长为(40－x)m.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB2＋BC2＝AC2，即 202＋(40－x)2＝x2，
解得 x＝25.
答：AC 的长度是 25 m.
[素养提升]
[解析] 要在 Rt△ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰
三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到
勾股定理的知识．
解：如图，有四种拼接方案可供参考．
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