1.3 二次根式的运算
1．如图，长方形内相邻两正方形的面积分别是 2 和 6，那么长方形内阴影部分的面积是
______(结果保留根号)．
2．在平面直角坐标系中，点 P( 3，1)到原点的距离是___．
3．如图，一道斜坡的坡比为 1∶8，已知 AC＝16m，则斜坡 AB 的长为_______m.
4．在如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称．若 A，B 两点对应的实数分别是 3和
－1，则点 C 所对应的实数是_______．
5．已知 x＝1－ 2，y＝1＋ 2，则 x2＋y2－xy－2x＋2y 的值为 ．
6．已知一次函数 y＝x＋b 的图象与 x 轴，y 轴的交点分别为 A，B，△OAB 的周长为 2＋ 2(O
为坐标原点)，求 b 的值．
7．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠BCD＝90°，∠B＝45°，AB＝2 6，CD＝ 3.求四边
形 ABCD 的面积．8．如图，∠B＝90°，点 P 从点 B 开始沿射线 BA 以 1cm/s 的速度移动；同时，点 Q 也从点 B
开始沿射线 BC 以 2cm/s 的速度移动．问：几秒后△PBQ 的面积为 35cm2？此时 PQ 的长是多
少厘米？(结果用最简二次根式表示．)
9．在△ABC 中，∠C＝90°，周长为(5＋2 3) cm，斜边上的中线 CD＝2 cm，求 Rt△ABC 的
面积.
10．已知 x＝
2＋1
2 ，则求代数式 4x4＋4x3－9x2－2x＋1 的值．
11．如图，C 为线段 BD 上的一个动点，分别过点 B，D 在 BD 两侧作 AB⊥BD，ED⊥BD，连结
AC，EC.已知 AB＝5，DE＝9，BD＝8，设 CD＝x.
(1)用含 x 的代数式表示 AC＋CE 的长．
(2)请问：点 C 满足什么条件时，AC＋CE 的值最小？
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 x2＋4＋ （12－x）2＋9的最小值．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点 M0 的坐标为(1，0)，将线段 OM0 绕原点 O 沿逆时针
方向旋转 45°，再将其延长到点 M1，使得 M1M0⊥OM0，得到线段 OM1；将线段 OM1 绕原点 O 沿
逆时针方向旋转 45°，再将其延长到点 M2，使得 M2M1⊥OM1，得到线段 OM2……如此下去，
得到线段 OM3，OM4，…，OMn.
(1)写出点 M5 的坐标．
(2)求△M5OM6 的周长．
(3)我们规定：把点 Mn(xn，yn)(n＝0，1，2，3，…)的横坐标 xn，纵坐标 yn 都取绝对值后
得到的新坐标(|xn|，|yn|)称之为点 Mn 的“绝对坐标”．根据图中点 Mn 的分布规律，请你
猜想点 Mn 的“绝对坐标”，并写出来．
13．如图，B 地在 A 地的正东方向，两地相距 28 2km.A，B 两地之间有一条东北走向的高
速公路，且 A，B 两地到这条高速公路的距离相等．某日 8：00 测得一辆在高速公路上行驶
的汽车位于 A 地的正南方向 P 处，至 8：20，测得该车在 B 地的西北方向 Q 处，该段高速公
路限速为 110 km/h.问：该车是否超速行驶？参考答案
1.2 3－2
2.2
3.2 65
4.2 3＋1
5.7＋4 2
6.易知一次函数 y＝x＋b 的图象分别交 x 轴，y 轴于点 A(－b，0)，B(0，b)，
∴OA＝|b|＝OB，∴AB＝ 2|b|，
∴|b|＋|b|＋ 2|b|＝2＋ 2，
(2＋ 2)|b|＝2＋ 2，
∴|b|＝1，∴b＝±1.
7.延长 AD，BC 交于点 E.
∵∠B＝45°，∠A＝90°，
∴∠B＝∠E＝45°，∴AE＝AB＝2 6.
同理，CE＝CD＝ 3.
∴S 四边形 ABCD＝S△ABE－S△CDE
＝
1
2×(2 6)2－
1
2×( 3)2
＝12－
3
2＝
21
2 .
8.设 x(s)后△PBQ 的面积为 35cm2，则 PB＝x，BQ＝2x.
由题意，得
1
2x·2x＝35，
解得 x1＝ 35，x2＝－ 35(不合题意，舍去)．
∴PQ＝ PB2＋BQ2＝ x2＋4x2＝ 5x2＝ 5 × 35＝5 7(cm)．
答： 35 s 后△PBQ 的面积为 35cm2，此时 PQ 的长为5 7 cm.
9.在△ABC 中，∵∠C＝90°，斜边上的中线 CD＝2 cm，
∴斜边 c 的长为 4 cm，
∴两直角边的和为 a＋b＝5＋2 3－4＝(1＋2 3)cm.
∵a2＋b2＝c2＝16，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，
∴2ab＝(1＋2 3)2－16＝4 3－3，
∴Rt△ABC 的面积＝
ab
2 ＝
4 3－3
4 (cm2)．
10.∵x＝
2＋1
2 ，∴2x－1＝ 2，
∴4x2－4x＋1＝2，∴4x2－4x＝1.
原式＝4x4－4x3＋8x3－8x2－x2－2x＋1
＝x2(4x2－4x)＋2x(4x2－4x)－x2－2x＋1
＝x2＋2x－x2－2x＋1＝1.
11.(1)AC＋CE＝ （8－x）2＋25＋ x2＋81.
(2)当 A，C，E 三点共线时，AC＋CE 的值最小．
(3)如解图所示，作 BD＝12，过点 B 作 AB⊥BD，过点 D 作 ED⊥BD(点 A 与点 E 在 BD 的异侧)，
使 AB＝2，ED＝3，连结 AE 交 BD 于点 C，
设 BC＝x，则 AE 的长即为 x2＋4＋ （12－x）2＋9的最小值．过点 E 作 EF⊥AB，交 AB 的
延长线于点 F，构成 Rt△AEF，易得 AF＝2＋3＝5，EF＝12，∴AE＝13，即 x2＋4＋
（12－x）2＋9的最小值为 13.
12.(1)点 M5(－4，－4)．
(2)△M5OM6 的周长＝4 2＋4 2＋8＝8 2＋8.
(3)设 k 为自然数，
当 n＝4k 时，Mn 的绝对坐标为(2
n
2
，0)；
当 n＝4k＋2 时，Mn 的绝对坐标为(0，2
n
2
)；
当 n＝4k＋1 或 4k＋3 时，Mn 的绝对坐标为(2
n－1
2
，2
n－1
2
)．
13.过点 A 作 AD⊥PQ 于点 D，设 PQ 与 AB 交于点 C.
由题意知，∠CBQ＝45°，∠ACP＝∠BCQ＝45°，
∴∠CQB＝90°，即 BQ⊥CQ.
∵A，B 两地到公路的距离相等，∴AD＝BQ.
∴△ACD≌△BCQ.
∴AC＝BC＝14 2.
∵∠APC＝45°，
∴AD＝PD＝CD＝CQ＝BQ＝14.
∴PQ＝42.∴该车的速度为 42÷
20
60＝126(km/h)>110 km/h，
∴该车超速行驶．
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