5．1 矩形(2)
1．在四边形 ABCD 中，AC，BD 是两条对角线且 AC＝BD.如果添加一个条件，即可推出四边形 ABCD 是矩形，
那么这个条件可以是（ ）
A. AB＝BC B. AC 与 BD 互相平分
C. AC⊥BD D. AB⊥BD
2．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（ ）
A. 一般平行四边形 B. 一般四边形
C. 对角线垂直的四边形 D. 矩形
3．如图，E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 四条边的中点，要使四边形 EFGH 为矩形，四边形 ABCD 应具备的
条件是（ ）
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
4．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC，AB 于点 D，F，过点 B 作 DF 的垂线，垂足为 E.若∠A＝
30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形 BCDE 的面积是（ ）
A. 2 3 B. 3 C. 4 D．3 3
5．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，△AOD 是等边三角形，AD＝4，则▱ABCD 的面积为.
6．如图，在四边形 ABCD 中，AC＝a，BD＝b，且 AC⊥BD，顺次连结四边形 ABCD 各边中点，得到四边形
A1B1C1D1，再顺次连结四边形 A1B1C1D1 各边中点，得到四边形 A2B2C2D2……如此进行下去，得到四边形
AnBnCnDn.则 S 四边形 AnBnCnDn=______.7．如图，在▱ABCD 中，以 AC 为斜边作 Rt△ACE，且∠BED 是直角．求证：▱ABCD 是矩形．
8．如图，在四边形 ABCD 中，H 是 BC 的中点，作射线 AH，在线段 AH 及其延长线上分别取点 E，F，连结
BE，CF.
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是_____，并证明．
(2)在(1)的条件下，连结 CE，BF，则当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形？并说明理由．
9．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC⊥BD，垂足为 O，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点．求证：四
边形 EFGH 是矩形．
10．如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，AB＝2，BC＝2 3，E，F 分别是线段 AB，AD 上的点，连结 CE，CF，
当∠BCE＝∠ACF，且 CE＝CF 时，求 AE＋AF 的值．
11．已知在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，D 为 AB 的中点，P 为直线 AB 上一动点，且 PE⊥AC 于点 E，PF⊥
BC 于点 F.求证：DE＝DF.12．如图，在△ABC 中，O 是边 AC 上的一个动点，过点 O 作直线 MN∥BC.设 MN 交∠ACB 的平分线于点 E，交
∠ACB 的外角平分线于点 F.
(1)求证：OE＝OF.
(2)若 CE＝12，CF＝5，求 OC 的长．
(3)连结 AE，AF，当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由．
13．如图，已知∠A＝∠B，AA1，PP1，BB1 均垂直于 A1B1，AA1＝17，PP1＝16，BB1＝20，A1B1＝12，求 AP＋PB
的值．参考答案
1-4BDCA
5.16 3
6.
ab
2n＋1．
7.证明：连结 OE.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵∠AEC＝∠BED＝90°，
∴AC＝2OE，BD＝2OE，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD 是矩形．
8.解：(1)答案不唯一，以添加 EH＝FH 为例，证明如下：
∵H 是 BC 的中点，
∴BH＝CH.
在△BEH 和△CFH 中，
∵{BH＝CH，
∠BHE＝∠CHF，
EH＝FH，
∴△BEH≌△CFH(SAS)．
(2)当 BH＝EH 时，四边形 BFCE 是矩形，理由如下：
∵BH＝CH，EH＝FH，
∴四边形 BFCE 是平行四边形．
∵当 BH＝EH 时，BC＝EF，
∴▱BFCE 为矩形．
9.证明：∵E，H 分别是 AB，AD 的中点，
∴EH 是△ABD 的中位线，
∴EH 平行且等于
1
2BD.
同理，FG 平行且等于
1
2BD，
∴EH 平行且等于 FG，
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴AC⊥EH.
∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH＝90°，
∴四边形 EFGH 是矩形．
10.解：过点 F 作 FG⊥AC 于点 G.
易证△BCE≌△GCF(AAS)，
∴BE＝GF，BC＝GC.
∵在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC＝4，
∴∠ACB＝30°，
∴∠DAC＝∠ACB＝30°.
∵FG⊥AC，∴AF＝2GF,
∴AE＋AF＝AE＋2BE＝AB＋BE.
设 BE＝x，则在 Rt△AFG 中，GF＝x，AF＝2x，∴AG＝ 3x.
∴AC＝AG＋CG＝ 3x＋2 3＝4，
解得 x＝
4
3 3－2.∴AE＋AF＝AB＋BE＝2＋
4
3 3－2＝
4
3 3.
11.证明：分两种情况证明.
(1)当 P 为线段 AB 上的点时(如解图)，连结 CD，则 CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∠ACD＝45°.
∵PF⊥BC，PE⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形 PFCE 为矩形．
∴CE＝PF.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝45°.
∵PF⊥BC，∴∠FPB＝45°，
∴PF＝BF，∴CE＝BF.
又∵∠ECD＝∠B＝45°，CD＝BD，
∴△CED≌△BFD(SAS)．
∴DE＝DF.
(2)当 P 为线段 AB 的延长线或反向延长线上的点时，此结论也成立，证法同(1)．
12.(1)证明：∵MN 交∠ACB 的平分线于点 E，
交∠ACB 的外角平分线于点 F，
∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF.
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.
∴∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF.∴OE＝OC，OF＝OC.
∴OE＝OF.
(2)解：∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ACE＋∠ACF＝
1
2∠BCD＝90°，
即∠ECF＝90°.
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝ 122＋52＝13.
∴OC＝
1
2EF＝6.5.
(3)解：当点 O 在边 AC 上运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形．理由如下：
当 O 为 AC 的中点时，OA＝OC，
又∵OE＝OF，
∴四边形 AECF 是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，
∴▱AECF 是矩形．
13.解：∵AA1，PP1，BB1 均垂直于 A1B1，
∴AA1∥PP1∥BB1.
过点 P 作 PD⊥AA1 于点 D，延长 DP 交 BB1 于点 F，延长 BP 交 AA1 于点 C，过点 C 作 CG⊥BB1 于点 G，
则四边形 DFB1A1，四边形 DPP1A1，四边形 FPP1B1，四边形 FDCG，四边形 CGB1A1 都是矩形，
∴DA1＝PP1＝FB1＝16，CG＝A1B1＝12.
∵AA1∥BB1，
∴∠B＝∠ACB.
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠ACB，
∴AP＝CP.
∵PD⊥AA1，
∴D 是 AC 的中点．
∵AA1＝17，
∴CD＝AD＝17－16＝1，∴FG＝1，
又∵BF＝20－16＝4，
∴BG＝4＋1＝5，
∴AP＋PB＝CP＋PB＝BC＝ CG2＋BG2＝ 122＋52＝13.
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