5.3 正方形（1)
一、选择题
1、下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
3、如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重
叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为 3，则另一边长是( )
A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋6
4、如图，AC、BD 是矩形 ABCD 的对角线，过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于 E，则图中与△ABC 全等的三角
形共有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
5、如图，已知正方形 ABCD，以 AB 为边向正方形外作等边三角形 ABE，连结 DE，CE，则∠DEC=_______.6、如图，已知矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，记点 C 的对应点为 C′，若∠ADC′＝20°，则∠BDC 的度数为
________．
7．如图，E 是正方形 ABCD 内一点，如果△ABE 是等边三角形，那么∠DCE＝________，如果 DE 的延长线交
BC 于 G，则∠BEG＝_______________.
三、解答题
8、在平面内正方形 ABCD 和正方形 CEFH 如图放置，连接 DE，BH 两线交于点 M.
求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.
E
BC
D A9、在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是 E,F.
⑴试说明:DE=DF.
⑵只添加一个条件,使四边形 EDFA 是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需
证明)
10、如图，四边形 ABCD 是正方形，G 是 BC 上任意一点(点 G 与 B、C 不重合)，AE⊥DG 于 E，CF∥AE 交 DG
于 F．求证：AE=FC+EF．
11、已知：如图，矩形 ABCD 的外角平分线围成四边形 EFGH．
求证：四边形 EFGH 是正方形．
12.AC 为正方形 ABCD 的对角线，E 为 AC 上一点，且 AB=AE,EF 垂直 AC 交 BC 于 F,求证:EC=EF=FB.
B
A
C
Q
E
D
P
N
M
H
G
F13、如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE=CF.BE 与 DF 之间有怎样的
关系？请说明理由.参考答案
一、选择题
1、D
2、C
3、A
4、D【解析】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB 与△ABC 全等，因为 DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因
为 CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC 全等的三角形有 4 个，故选择 D.
二、填空题
5、30°【解析】△ABE 为等边三角形∠BAE=60°， ∠DAE=150°， △ABE 为等腰三角形， ∠AED=15°同理
∠BEC=15°所以∠DEC=30°.
6、55°【解析】本题考查矩形的性质和折叠全等的问题，设∠BDC＝x°，则∠ADB＝(90－x)°，∴x＝
90－x＋20，∴x＝55°.
7、∠EDC=150 ∠BEG＝450 【解析】∵△ABE 是等边三角形，∴∠ABE=∠AEB=60°，BE=AB，∵四边形 ABCD
是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∴BE=BC，∠CBE=90-60°=30°，∴∠BCE=∠BEC= （180°
-30°）=75°，∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-75°=15°；由对称性可得∠AED=∠BEC=75°，∴∠BEG=180°-
∠AED-∠AEB=180°-75°-60°=45°．
三、解答题
8、证明：(1)在正方形 ABCD 与正方形 CEFH 中，
BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，
即∠BCH＝∠DCE，
∴△BCH≌△DCE，
∴BH＝DE
(2)由(1)得，∠CBH＝∠CDE，
∴∠DMB＝∠BCD＝90°，
∴BH⊥DE
9、证明：⑴连结 AD，∵AB＝AC，D 为 BC 的中点
∴AD 为∠BAC 的平分线.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
⑵∠BAC＝90°， DE⊥DF.
10、解：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，
又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，
∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC，
∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF．11、解：由△EAB 与△GCD、△FBC 与△HAD 是两对全等的等腰直角三角形，
推得 EA+AH=EB+BF=GC+FC=GD+DH，即 EH=EF=GF=GH．∴四边形 EFGH 是菱形．
又∵∠E=90°，∴四边形 EFGH 是正方形．
12、证明：在 Rt△AEF 和 Rt△ABF 中，AE＝AB,AF＝AF，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE=FB．∵正方形 ABCD，
∴∠ACB=45°，
在 Rt△CEF 中，∵∠ACB=45°，
∴∠CFE=45°，∴∠ACB=∠CFE，
∴EC=EF，
∴FB=EC．
13、解：BE=DF,且 BE⊥DF.理由如下：
（1） ∵四边形 ABCD 是正方形.
∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°
∴∠BCE=∠DCF
又∵CE=CF
∴△BCE≌△DCF
∴BE=DF.
(2)延长 BE 交 DE 于点 M.
∵△BCE≌△DCF,
∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°,
∴∠CDF+∠F=90°,
∴∠CBE+∠F=90°,
∴∠BMF=90°,
∴BE⊥DF.5.3 正方形（2）
A 组 基础训练
1．如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相垂直
3．已知正方形 ABCD 的边长为 2，E，F 分别为 BC 和 CD 边上的中点，则△AEF 的面积为（ ）
A． 2.5 B． 1.5 C． 2 D．
4.如图，正方形 ABCD 中，∠DAF=25°，AF 交对角线 BD 于点 E，那么∠BEC 等于（ ）
A． 45° B． 60° C． 70° D． 75°
5.如图，正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上且 DM=2，N 是 AC 上一动点，则 DN+MN 的最小值为（ ）
A. 8 B. 8 C. 2 D. 10
6. 边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如
图中阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）
A. 2- B. C. 2- D. 2
7.已知：如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，则∠BED=_________．
5
3 5
2 17
3
3
3
32
4
38．如图为某城市部分街道示意图，四边形 ABCD 为正方形，点 G 在对角线 BD 上，GE⊥CD，GF⊥BC，
AD=1500m，小敏行走的路线为 B→A→G→E，小聪行走的路线为 B→A→D→E→F. 若小敏行走的路程为
3100m，则小聪行走的路程为________ m.
9. 如图，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过此正方形的顶点 B、D 作 BF⊥a 于点 F、DE⊥a 于点 E，
若 DE=8，BF=5，则 EF 的长为_________.
10．如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CD，AD 上的点，且 CE＝DF，AE，BF 相交于点 O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S 四边形 DEOF 中正确的有_________ . （填序号）
11.如图，四边形 ABCD 是正方形，E、F 分别是 AB、AD 上的一点，且 BF⊥CE，垂足为 G，求证：AF=BE．
12．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，∠ADE＝∠CDF.
（1）求证：AE＝CF.
（2）连结 DB 交 EF 于点 O，延长 OB 至点 G，使 OG＝OD，连结 EG，GF，判断四边形 DEGF 是否是菱形，并说
明理由.
B 组 自主提高
13.如图，将正方形对折后展开（图 4 是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角
三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半． 这样的图形有（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
14．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边的中点，AC 与 BE 相交于点 F，连结 DF.（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连结 AE，试判断 AE 与 DF 的位置关系，并证明你的结论；
（3）延长 DF 交 BC 于点 M，试判断 BM 与 MC 的数量关系（直接写出结论）.
参考答案
1—5. CBBCD 6. A
7. 45°
8. 4600
9. 13
10. ①②④
11. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，∵BF⊥CE，∴∠BCE+∠CBG=90°.
∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠BCE=∠ABF，在△BCE 和△ABF 中，∠BCE=∠ABF，BC=AB，∠CBE=
∠A，∴△BCE≌△ABF（ASA）， ∴BE=AF．
12.（1）证明：在正方形 ABCD 中，AD=CD，∠A=∠C=90°，在△ADE 和△CDF 中，∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠
A=∠C=90°，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF.
（2）解：四边形 DEGF 是菱形.
理由如下：在正方形 ABCD 中，AB=BC，∵AE=CF，∴AB-AE=BC-CF，即 BE=BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴
BD 垂直平分 EF，又∵OG=OD，∴四边形 DEGF 是菱形.
13. C
14. 解：（1）△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF.
（2）AE⊥DF. 设 AE 与 DF 相交于点 H.
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF.又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF. ∴∠1=∠2. 又∵AD=BC，∠
ADE=∠BCE=90°，DE=CE，∴△ADE≌△BCE. ∴∠3=∠4. ∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°. ∴AE⊥DF.
（3）∵∠ADE=90°，AE⊥DF. ∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°. ∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5.
∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，∴△DCM≌△BCE. ∴CE=CM，又∵E 为 CD 中点，且 CD=CB，∴CE= CD= BC，∴
CM= CB，即 M 为 BC 中点，∴BM=MC.
2
1
2
1
2
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