2.5 三元一次方程组及其解法（选学）
教学目标
1．理解三元一次方程组的含义．
2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．[来
重点难点
重点
1．使学生会解简单的三元一次方程组．
2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．
难点
针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．
教学设计
前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一
次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题．
一、研究探讨
出示引入问题
小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2
元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．
1．题目中有几个未知数，你如何去设？
2．根据题意你能找到等量关系吗？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
请大家分组讨论上述问题．
(教师对学生进行巡回指导)
学生成果展示：
1．设1元，2元，5元各x张，y张， z张．(共三个未知数)
2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍．
3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组
师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一
共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，
把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？
(学生小组交流，探索如何消元．)
12,
2 5 22,
4 .
x y z
x y z
x y
+ + =
+ + =
=可以把③分别代入①②，便消去了x，只包含y和z二元了：
解此二元一次方程组得出y、z，进而代回原方程组可求x．
教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加
减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，
进而转化为解一元一次方程．
即三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
二、例题讲解
例1：解三元一次方程组
(让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．)
解：②×3+③，得11x+10z=35．
①与④组成方程组
把x=5，z=-2代入②，得y= ．
因此，三元一次方程组的解为
归纳：此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③
中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．反之用代入法运算较烦
琐．
例2：在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，
c的值．
(师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．)
解：由题意，得三元一次方程组
②-①，得a+b=1，④
③-①，得4a+b=10． ⑤
8,4 12, 5 12, 2,4 2 5 22, 6 5 22. 2.
xy y z y z yy y z y z z
=+ + = + = = + + = + = =
即 解得
消元
消元
3 4 7,
2 3 9,
5 9 7 8.
x z
x y z
x y z
+ =
+ + =
− + =
3 4 7, 5,
11 10 35. 2.
x z x
x z z
+ = =
+ = = −
解得
1
3
5,
1 ,3
2.
x
y
z
=
=
= −
0,
4 2 3,
25 5 60.
a b c
a b c
a b c
− + =
+ + =
+ + =④与⑤组成二元一次方程组 ．
解得
把a=3，b=-2代入①，得c=-5．
因此 ，
答：a=3，b=-2，c=-5．
知能训练
1．解下列三元一次方程组：
2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的 等于丙数的 ，求这
三个数．
解：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则
即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．
课堂小结
1．学会三元一次方程组的基本解法．
2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想．
1,
4 10.
a b
a b
+ =
+ =
3,
2
a
b
=
= −
3,
2,
5.
a
b
c
=
= −
= −
2 9, 3 4,
(1) 3, (2) 2 3 12,
2 47; 6.
22, 2,
:(1) 15.5, (2) 3,
12.5; 1.
x y x y z
y z x y z
z x x y z
x x
y y
z z
− = − − + =
− = + − =
+ = + + =
= =
= =
= =
解
1
3
1
2
35, 10,
2 5, 15,
10.,3 2
x y z x
x y y
y z z
+ + = = − = =
= =
解得
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