4.2 提取公因式法
教学目标：
了解公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式．
教学重、难点：
教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．
教学难点：识别多项式的公因式．
教学过程；
一、创设问题情境，引入新课
一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为 ， ， ，宽都是 ，求这块场地
的面积．
解法一：S= × + × + × = + + =2．
解法二：S= × + × + × = ( + + )= ×4=2．
从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用
分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些．这个事实说明，有时我们需要将
多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法．
二、新课讲解
1．公因式与提公因式法分解因式的概念．
将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为
ma+mb+mc，或m(a+b+c)，可以用等号来连接．ma+mb+mc=m(a+b+c)
从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？
等式右边的项有什么特点？
等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式(a+b+c)的乘积，从左边到右边
是分解因式．
由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式
的各项的公因式．
由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与(a+b+c)的乘积的形式，相当于把公因式m从各
项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的
多项式(a+b+c)，作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式
法．
2．例题讲解
［例］将下列各式分解因式：
4
3
2
3
4
7
2
1
2
1
4
3
2
1
2
3
2
1
4
7
8
3
4
3
8
7
2
1
4
3
2
1
2
3
2
1
4
7
2
1
4
3
2
3
4
7
2
1(1)3x+6；
(2)7x2－21x；
(3)8a3b2－12ab3c+abc；
(4)－24x3－12x2+28x．
分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来．
解：(1)3x+6=3x+3×2=3(x+2)；
(2)7x2－21x=7x·x－7x·3=7x(x－3)；
(3)8a3b2－12ab3c+abc
=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c
=ab(8a2b－12b2c+c)．
(4)－24x3－12x2+28x
=－4x(6x2+3x－7)．
3．议一议
总结出找公因式的一般步骤．
首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4．
其次找各项中含有的相同的字母，如(3)中相同的字母有ab，相同字母的指数取次数最
低的．
4．想一想
从例中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式．
三、课堂练习
(一)随堂练习
1．写出下列多项式各项的公因式．
(1)ma+mb(m)
(2)4kx－8ky(4k)
(3)5y3+20y2(5y2)
(4)a2b－2ab2+ab(ab)
2．把下列各式分解因式．
(1)8x－72=8(x－9)
(2)a2b－5ab=ab(a－5)
(3)4m3－6m2=2m2(2m－3)
(4)a2b－5ab+9b=b(a2－5a+9)
(二)补充练习
把3x2－6xy+x分解因式．四、课时小结
1．提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m(a+b+c)．
这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式．
2．提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式．
3．找公因式的一般步骤：
(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
(2)取相同的字母，字母的指数取较低的；
(3)取相同的多项式，多项式的指数取较低的；
(4)所有这些因式的乘积即为公因式．
4．初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因
式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生．
5．公因式相差符号的，如(x－y)与(y－x)要先统一公因式，同时要防止出现符号问
题．
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