2.1 二元一次方程
教学目标：
一、知识与技能目标：
1. 理解二元一次方程的定义；
2. 能够准确叙述处二元一次方程的解的概念；
3. 能熟练的求出二元一次方程的一个解。
二、过程与方法目标：
经历探索二元一次方程的解的过程，培养学生的数学交流和归纳猜想的能力；
三、情感态度与价值观目标：
体会到数学推理的奥妙，能用数学知识解决实际问题。
重点：
1. 探索二元一次方程的解的过程；
2. 利用一元一次方程求解的方法求二元一次方程的一个解。
难点：二元一次方程的解的求解。
教学流程：
一、 课前回顾
我们在前面的学习中，已经知道了一元一次方程的概念，主要讲了一元一次方程的定义
的相关概念。我们一起回忆一下相关概念。
一元一次方程是指“含有一个未知数，并且未知数的的项的次数为一次的方程”。
例如“x=3x 、2x=6x-1 、9x-6=2x”都是一元一次方程，特别注意的是这里的一元是
指含有一个未知数，一次是指未知数的次数为一次。
那么如果含有两个未知数，那又是什么方程呢？那么这节课，我们将进一步走近方程，
来学习有两个未知数的方程的相关知识。
二、 活动探究
同学们，我们首先探究一下有未知数的时候该怎么列方程呢？
探究①
大家先看下这个例子：例子里有多少个未知数，我们又是如何列方程的呢？
学生活动：看例子并思考问题。
发现这里有一个未知数，于是我们根据“总价=单价×数量”，可得：20=2×数量，在设
数量为 x 以后，可以列出方程 20=2x。这里有一个未知数，我们列出了一个一元一次方程。
探究②
大家继续看这个例子，仍然思考这里有几个未知数，而又该列怎样的方程？学生活动：看例子思考回答问题。
同学们，根据“总价=第一种贺卡总价+第二种贺卡总价”可以得到“10.8=2×数量 +
1.2×数量”，这里有两个未知数。那如何列出有两个未知数的式子呢？
探究③
我们一起继续探究，大家继续看这个例子，仍然思考刚刚大家思考的问题，并重点思考
怎么设未知数怎么列方程呢。
学生活动：看例子思考回答问题。
很快的，同学们可以根据“总价=面额为 6 角的总价+面额为 8 角的总价”得到
“3.3=0.6×6 角张数+0.8×8 角张数”，在题目里已经设 6 角张数为 x，8 角张数为 y，所以
可以很快的得到“3.3=0.6x+0.8y”，这里有两个未知数，并且未知数的次数都为一次。
探究④
在刚才的探究中，我们接触了有两个未知数的时候，发现当未知数分别被设为两个字母
表示时候，这个式子是可以表示的，现在大家看这一例子，思考一下该怎么列方程。
学生活动：看例子思考回答问题。
根据“轿车 2 小时的路程=卡车 3 小时的路程+29”可以得到“2×轿车速度=3×卡车速
度 +29”，这 里 有 两 个 未 知 数 ， 因 为 设 轿 车 速 度 为 a ， 卡 车 速 度 为 b ， 所 以 可 得 到
“2a=3b+29”。
探究结果：
观察 2a=3b+29、3.3=0.6x+0.8y、10.8=2x+1.2y，想一想它们有什么共同点？
观察后，我们发现，这些方程都有一个共同点，它们都是整式方程，并且含有两个未知
数，并且未知数的项的次数都是 1 次。
三、讲授新知
只有一个未知数且未知数次数为一次的方程叫做一元一次方程，那含有两个未知数且未
知数的次数都为一次的方程叫什么呢？
像刚刚的式子，含有两个未知数，且未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次
方程。
跟一元一次方程类似地，二元是指两个未知数，一次是指未知数的项的次数为一次。
四、做一做
1.根据题意列出方程：
（1）甲数比乙数大 42.设甲数为 x，乙数为 y；
x=y+42
（2）甲、乙工作一起工作 6 天，完成零件 52 件.设甲每天生产零件 x 件，乙每天生产 y份；
6x+6y=52
（3）一长方形的周长为 30cm.设长为 a，宽为 b。
（a+b）×2=30
2.判断下列各式是否为二元一次方程：
（1）、2/x+b2=23 （2）、2/x+y
（3）、1/x+y=0 （4）、(1/2)x+6y=20
（5）、（1/2）xy+6y=20 （5）、3y+6x=20-x2
解析: （1）：未知数为 2 个，y 的次数为 1，b 的次数为 2，不是；（2）：未知数为 2
个，y 的次数为 1，x 在分母上不为 1，且不为等式，不是；（3）x 在分母上，次数不为 1 次，
不是；（4）：未知数为 2 个，y 和 x 的次数都为 1，是；（5）未知数为 2 个，且未知数的次
数为 1 的方程，是；（6）未知数为 2 个，x 的次数都为 2，不是。
小结：
1. 当问题里有两个未知数的时候，可以列二元一次方程.
2. 判断是否为二元一次方程：
① 方程：式子为一个方程，即是等式有等号；
② 二元：未知数的个数为两个；
③ 一次：未知数的项的次数为一次。
五、探究理解
对于一元一次方程，使等式两边相等的 x 的值称为一元一次方程的解。那么对于二元一
次方程，方程的解又是什么呢？
首先我们先探究二元一次方程“8x+6y=20”的解是什么。
二元一次方程 x y
1 2
2 2/3
3 -2/3
4 -2
5 -10/3
8x+6y=20
… …
探究结果：
可以发现，对于二元一次方程，使得方程两边的值相等的未知数有很多对。例如：从探究结果可以方程使 8x+6y=20 成立的值有很多对。
那么，这些使得二元一次方程的等号成立的这些未知数的值叫做什么呢？
对于二元一次方程，使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方
程的一个解。
特别说明：二元一次方程的解有很多对，但是每一对是唯一的。
六、例题讲解
例 1 已知方程 3x+2y=10.
（1）用关于 x 的代数式表示 y.
（2）求当 x=-2,0,3 时对应的 y 值，并写出 3x+2y=10 的三个解.
分析：要用关于 x 的代数式表示 y，只要把 3x+2y=10 看做未知数是 y 的一元一次方程.
解：（1）移项，得 2y=10-3x.
（2）当 x=-2 时，y=5-3/2×（-2）=8；
当 x=0 时，y=5-3/2×0=5；
当 x=3 时，y=-3/2×3=1/2。
由二元一次方程的解的意义，可以得到 x=2，y=8；x=0，y=5；x=3，y=1/2
都是方程 3x+2y=10 的解.
例 2 已知二元一次方程 2xn-2+ym+1=6，求 m、n 的值.
解：∵ 2xn-2+ym+1=6 是二元一次方程
∴未知数 x 和 y 的次数都得为 1
∴n-2=1，m+1=1
解得 n=3；m=0
∴n=3；m=0.
例 3 如果 x=1，y=3 是方程 6x+2by=6 的一个解，求 b 的值.
解：∵ x=1，y=3 是 6x+2by=6 的一个解
∴这一对值满足方程 6x+2by=6
∴6×2+2×b×3=6
即 12+6b=6
解得 b=-1
∴b=-1.
七、达标测评
1．检验下列各组数是不是方程 2a-3b=20 的解。
（1）a=4，b=3； （2）a=5，b=-10/3； （3）a=100，b=60.解：（1）将 a=4 带入方程得 2×4-3b=20，解得 b=-4≠3，所以不是方程解.
（2）将 a=5 带入方程得 2×5-3b=20，解得 b=-10/3=-10/3，所以是方程的解.
（3）将 a=100 带入方程得 100×2-3b=20，解得 b=60=60，所以是方程的解.
2．已知二元一次方程 2x+3y=2.
（1）用关于 y 的代数式表示 x.
（2）根据给出的 y 值，求出对应的 x 的值，填入表内.
y 0 2 -2 2/3 1 …
x 1 -2 4 1/2 -1/2 …
解：（1）2x=2-3y
即 x=1-3/2y
（2）填入表格内.
3. 已知二元一次方程 2xn+3ym-2=2.
（1）求 n 和 m 的值.
（2）当 y=10 时，求出对应的 x 的值.
解：（1）∵方程为二元一次方程，未知数的项的次数为 1
∴n=1，m-2=1
∴n=1，m=3.
（2）∵方程为二元一次方程
∴方程为 2x+3y=2
∴当 y=10 时，带入方程得 2x+30=2
∴此时 x=-14.
八、体验收获
本节课我们学习了二元一次方程的相关知识，现在我们一起再来回忆一遍：
1. 二元一次方程是指：含有两个未知数，且未知数的项的次数都是一次的方程。
2. 而二元一次方程的解是指：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，
叫做二元一次方程的一个解。
3. 特别注意的是：二元一次方程有无数个解，求解的关键是将二元一次方程转换
为一元一次方程，即“消元法”。
微信/支付宝扫码支付