第二十七章 相似
27.1 图形的相似
【教学目标】
知识技能目标:
1.使学生理解并掌握两个图形相似的概念.
2.掌握相似多边形的特征.
3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似,并会运用其性质进行相关的计算.
过程性目标:
在探索相似多边形特征的过程中,进一步发展学生的归纳、类比、反思、交流的能力,提高数学思维水平.
情感态度目标:
1.结合本课教学特点,培养学生观察能力,向学生进行美育渗透.
2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
【重点难点】
重点:理解并掌握相似多边形的特征.
难点:运用相似多边形的特征进行相关的计算.
【教学过程】
一、创设情境
教师挂上大小不一样的两张中国国旗及两张大小不同的长城图片,供同学观察,提出问题:
这几组图片有什么相同的地方呢?
我们一起来看看这几组图片,这些图片大小虽然不一样,但是形状相同.我们把这些形状相同的图形叫做相似图形.
教师出示问题,教师补充校正.
学生观察思考,尝试回答问题.
二、探索归纳
问题探究一 什么是相似图形?
●活动1 师生互动,探索新知
观察与思考:请观察下面几组图片:你能发现它们有什么特点吗?
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想一想:你能再举出一些相似的图形的例子吗?学生举例
探究与思考:什么是相似图形?引导学生归纳.
从而得出:具有相同形状的图形叫相似形.(出示课题——图形的相似)
●活动2 应用练习
1.思考教科书第25页思考中的问题,哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗?
解:∵哈哈镜改变了形状,∴它们不相似.
2.如图,图形(a)～(f)中,哪些是与图形(1)或(2)相似的?
解:与(1)相似的是:(d);与(2)相似的是:(e).
3.如图,从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?
解:它们形状相同,所以是相似的.
问题探究二 什么是成比例线段?
●活动1 如图,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上,那么AB,AD,EF,EH的长度分别是多少?分别计算,,,的值.
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解:如图,由图可知AM=2,DM=6,
∴AD====2.
同理可得EH=.
又∵AB=8,EF=4,
∴==2,==2,==,=.
●活动2 例题讲解,成比例线段的应用
例1:已知a=2,b=4.1,c=4,d=8.2,下面选项正确的是 ( )
A.d,b,a,c成比例 B.a,d,b,c成比例
C.a,c,b,d成比例 D.a,d,c,b成比例
解:选C.由a∶c=2∶4=1∶2,b∶d=4.1∶8.2=1∶2,
∴a∶c=b∶d.
点拨:四条线段成比例是有顺序性的.
例2:下列各组中的四条线段成比例的是 ( )
A.a=,b=3,c=2,d=
B.a=4,b=6,c=5,d=10
C.a=2,b=,c=2,d=
D.a=2,b=3,c=4,d=1
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解:选C.由a∶b=2∶,c∶d=2∶=2∶,
∴a∶b=c∶d,线段a,b,c,d是成比例线段.
问题探究三 什么是相似多边形?相似多边形有怎样的性质?
●活动1 从特殊图形入手,合作探究
思考图中的两个相似的正三角形和两个相似的正六边形的对应边和对应角的关系.
∵正△ABC与正△A1B1C1相似,
∴∠A=∠A1=60°,∠B=∠B1=60°,∠C=∠C1=60°.
设△ABC的边长为a,△A1B1C1的边长为b,
∴=,=,=.
让学生独立思考并分组交流讨论,然后请学生有条理说明.
归纳:特殊三角形的对应角相等,对应边成比例.
●活动2 由特殊到一般进行探究
探究:如图中的两个相似三角形和相似四边形,它们的对应角和对应边有什么关系?
利用量角器,直尺度量角及边长.教师先演示度量,然后请学生上台度量.学生感觉比较新鲜.并且通过电子白板功能准确测量三角形的角与边的度数及长度,进一步验证相似三角形的对应角相等,对应边的比相等这个性质,及相似比这个概念.
归纳:相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
三、新知应用
例:如图,四边形ABCD和EFGH相似,求∠α和∠β的大小,EH的长度x.
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解:因为四边形ABCD和EFGH相似,所以它们的对应角相等,
由此可得∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°.
在四边形ABCD中,∠β=360°-(78°+83°+118°)=81°.
因为四边形ABCD和EFGH相似,所以它们的对应边成比例,
由此可得=,即=.
解得x=28.
点拨:利用相似多边形的对应角相等和四边形内角和等于360°求角的度数;利用相似多边形的对应边成比例求边长.
四、检测反馈
1.下列各线段的长度成比例的是 ( C )
A.1 cm,2.5 cm,3 cm,4 cm
B.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm
C.3 cm,6 cm,9 cm,18 cm
D.3 cm,5 cm,8 cm,15 cm
2.下列图形一定是相似图形的是 ( B )
A.两个平行四边形 B.两个正三角形
C.两个矩形 D.两个菱形
3.若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,且AB∶A′B′=2∶5,已知BC=14,则B′C′的长是 ( B )
A.28 B.35 C.50 D.70
解析:由相似多边形的对应边成比例,得=,有=,∴B′C′=35.
4.Rt△ABC的两条直角边分别为5 cm,12 cm,与它相似的Rt△A′B′C′的斜边为39 cm,那么Rt△A′B′C′的周长为 ( A )
A.90 cm B.80 cm C.60 cm D.30 cm
解析:由Rt△ABC的两条直角边分别为5 cm、12 cm,可得其斜边为13 cm,又知与它相似的Rt△A′B′C′的斜边为39 cm,可得Rt△ABC与Rt△A′B′C′的相似比为13∶39=1∶3,根据相似多边形的性质“
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相似多边形对应边成比例”可得Rt△A′B′C′的两条直角边分别为15 cm、36 cm,因此Rt△A′B′C′的周长为:15+36+39=90 cm.
五、课堂小结
引导学生梳理本节所学知识,获得巩固和发展.
1.相似图形的定义——相同形状的图形;
2.判断两个图形是否相似;
3.相似多边形的性质特征:对应角相等,对应边成比例;
4.利用相似放大或缩小图形;
5.能用相似的性质解决实际问题.
六、板书设计
课题:27.1 图形的相似
(一)图形展示
(通过多媒体展示师生收集的图片)
(二)相似图形概念
1.强调边角的对应关系
2.辨析相似和全等的关系
(三)相似图形性质的探究
(四)由相似图形的性质引出新概念
1.相似多边形
2.相似比
3.成比例线段
(五)巩固应用
(六)简单的相似作图
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