位似
一课一练·基础闯关
题组一 位似图形的识别及性质
1.下列实际生活事例中,形成位似关系的有( )
①放电影时胶片和屏幕上的画面;
②望远镜中看到的画面和实际画面;
③照相时人物和底片的影像;
④同一底版大小不同的两张照片.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.①②③是位似关系,④是相似关系.
2.在下列图形中,不是位似图形的是( )
【解析】选D.位似图形具备两个条件一是相似,二是对应点连线相交于一点,而D中的两个图形对应点连线不相交于一点.
【变式训练】下列各图中的两个相似图形不是位似图形的是( )
【解析】
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选D.对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.根据位似图形的概念,A,B,C三个选项中的两个图形都是位似图形;D中的两个图形是相似三角形,但不符合位似图形的概念,故不是位似图形.
【知识归纳】位似图形判断的“两”注意
1.前提:位似的前提是相似,即对应边的比相等,对应角相等.
2.交点:两个图形所有对应点连线交于一点.
3.(2017·成都中考)如图四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA′=2∶3,则四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为 世纪金榜导学号67994068( )
A.4∶9 B.2∶5 C.2∶3 D.∶
【解析】选A.由位似的性质得,ABCD和A′B′C′D′的相似比为2∶3,所以四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为4∶9.
4.(2017·绥化中考)△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的,若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9,则OB′∶OB为( )
A.2∶3 B.3∶2 C.4∶5 D.4∶9
【解析】选A.位似三角形一定是相似三角形,所以两个相似三角形的面积比为4∶9,其相似比是面积比的算术平方根,所以OB′∶OB是2∶3.
5.一般地,室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm×3.5cm,放映的银幕规格为2m×2m,若投影机的光源距胶片20cm时,问银幕应在离镜头多远的地方,放映的画面刚好布满整个银幕? 世纪金榜导学号67994069
【解析】相似比k==.设银幕距镜头xcm,则=.解得x=.∴cm=m.
答:银幕应在离镜头m,放映的画面刚好布满整个银幕.
6.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,M,N分别是边AB,AD的中点,连接OM,ON,MN.
世纪金榜导学号67994070
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求证:四边形AMON与四边形ABCD是位似图形.
【解题指南】
【证明】∵点O是对角线AC,BD的交点,M,N分别是边AB,AD的中点,
∴OM∥BC,ON∥CD.
∴△AMO∽△ABC,△AON∽△ACD.
∴∠AMO=∠ABC,∠AOM=∠ACB,
∠AON=∠ACD,∠ANO=∠ADC,
====.
∴∠AOM+∠AON=∠ACB+∠ACD,
∴∠MON=∠BCD.
又∵∠MAN=∠BAD,又∠AMO=∠ABC,∠ANO=∠ADC,
∴四边形AMON∽四边形ABCD.
又∵对应点连线交于一点A,
∴四边形AMON与四边形ABCD是位似图形.
题组二 利用位似缩放图形
1.下列是画△ABC位似图形的几种画法,如图,其中正确的个数有( )
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.根据位似图形的定义,不难看出②③④中的两个图形都是位似图形,只有①中的不符合对应边互相平行或在同一直线上的条件.
2.五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形,对应边CD=2,C′D′=3,若位似中心点P到点A的距离为6,则点P到点A′的距离PA′=__________. 世纪金榜导学号67994071
【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形,
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′,
∴=,
∴=,∴PA′=9.
答案:9
3.以点O为位似中心将图中的“A”字形图形在位似中心同侧扩大为原来的2倍.
【解析】作射线OA,在射线OA上截取OA′=2OA,这样便找到了点A的对应点
A′.用同样的方法可以找出点B,C,D,E的对应点B′,C′,D′,E′.对照原图形,将点A′,B′,C′,D′和E′连成“A”字形图形.
4.如图,图中的小方格都是边长为1的正方形,△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上. 世纪金榜导学号67994072
(1)画出位似中心点O.
(2)求出△ABC与△A′B′C′的相似比.
(3)以点O为位似中心,再画一个△A1B1C1,使它与△ABC的相似比等于2∶1.
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【解析】(1)如图,作直线A′A和C′C相交,交点即为点O.
(2)∵BC=,B′C′=2,
∴==,
即△ABC与△A′B′C′的相似比为.
(3)如图.
如图,在矩形ABCD的对角线AC上任取一点A′.作A′B′∥AB交BD于点
B′,作B′C′∥BC交AC于点C′,作C′D′∥CD交BD于点D′,连接A′D′.则四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是位似图形吗?
【解析】是位似图形.理由如下:
∵A′B′∥AB,B′C′∥BC,C′D′∥CD,
∴===,
又∵∠AOD=∠A′OD′,
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∴△OA′D′∽△OAD,
∴∠OA′D′=∠OAD,∴A′D′∥AD.
又∵∠OA′B′=∠OAB,∴∠B′A′D′=∠BAD=90°.
∴四边形A′B′C′D′为矩形.
又∵==.
∴矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似.
又它们对应顶点相交于一点,所以它们是位似图形.
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