27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时
【教学目标】
知识技能目标:
初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法,以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.
过程性目标:
经历两个三角形相似的探索过程,体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程;通过画图、度量等操作,培养学生获得数学猜想的经验,激发学生探索知识的兴趣.
情感态度目标:
1.经历两个三角形相似的探索过程,体验分析归纳得出数学结论的过程,进一步发展学生的探究、交流能力.
2.通过与相似多边形和三角形全等的条件类比,渗透类比的数学思想,并领会特殊与一般的关系.
【重点难点】
重点:掌握三角形相似的判定方法,并会运用判定定理判定两个三角形相似.
难点:会准确运用三角形相似的判定定理来判定三角形是否相似.
【教学过程】
一、创设情境
1.如图:DE∥BC,AD=2,BD=3,DE=2,求BC.
2.如图:BC=DE,AB=EF,AD=CF.求证:∠A=∠F.
二、探索归纳
问题探究一 三边成比例的两个三角形相似吗?
引入:判定两个三角形全等我们有SSS的方法,判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢?
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探究:任意画△ABC和△A′B′C′,使△A′B′C′的各边长都是△ABC各边长的k倍,△ABC∽△A′B′C′吗?
1.操作:度量这两个三角形的对应角,这两个三角形的对应角相等,对应边成比例.
2.猜想:在△ABC和△A′B′C′中,如果==,那么△ABC∽
△A′B′C′.
3.证明:分析:这时可在A′B′上截取A′D=AB,再过D作DE∥B′C′,由△A′DE∽△A′B′C′,再证明△ABC≌△A′DE,则可得到△ABC∽△A′B′C′.
证明:在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB,过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.根据前面的定理,可得△A′DE∽△A′B′C′.
∴==.
又 ==,A′D=AB,
∴=,=.
∴DE=BC,A′E=AC.
∴△A′DE≌△ABC.
∴△ABC∽△A′B′C′.
△A′DE是证明的中介,它把△ABC与△A′B′C′联系起来.
4.归纳:三角形相似的判定方法1:三边成比例的两个三角形相似.
5.推理格式:∵==,
∴△ABC∽△A′B′C′.
问题探究二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似吗?
●活动1 导入问题,合作探究
导入:判定两个三角形全等我们有SAS的方法,判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢?
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探究:利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,==k.
△ABC∽△A′B′C′吗?
1.操作:量出BC和B′C′,它们的比值等于k吗?∠B=∠B′,∠C=∠C′吗?
2.改变∠A的大小,结果怎样?改变k的值呢?
3.猜想:在△ABC和△A′B′C′中,如果==k,∠A=∠A′,那么△ABC∽
△A′B′C′.
4.证明:在A′B′上截取A′D=AB,作DE∥B′C′交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.
∴=.
又∵=,A′D=AB,
∴A′E=AC.∴△ABC≌△A′DE.
∴△ABC∽△A′B′C′.
5.结论:三角形相似的判定方法2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
6.推理格式:∵=,∠A=∠A′,
∴△ABC∽△A′B′C′.
●活动2 举反例探究
思考:在△ABC与△A′B′C′中,如果==k,∠B=∠B′,那么△ABC与
△A′B′C′一定相似吗?如果一定相似,给予证明;如果不一定相似,举一反例(画图).
教师可引导学生回顾“两边对应相等,且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等”时所举出的反例,使学生能轻松地过渡到判别它们不一定能相似时可能存在的一种情形.
用多媒体投放学生画出的反例图形:
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观察上面图形,如果两个三角形两边对应成比例,有任意一角对应相等,那么,这两个三角形一定相似吗?
投影演示
注意:两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似.
三、新知应用
例:(教材第33页例1)
分析:(1)分析三边是否成比例即可;(2)分析夹角的两边是否成比例即可.
巩固练习1:教材第34页练习1,2,3.
设计意图:此环节的例题和习题难度都不大,让初学者有成就感,增加继续学习的信心.
变式练习
(1)根据下列条件,判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由.
AB=10,BC=8,AC=16,A′B′=16,B′C′=12.8,A′C′=25.6;
(2)如图,判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.
(3)在△ABC与△DEF中,已知AB=2,BC=3,CA=4,DE=,EF=,FD=,△ABC与△DEF相似吗?并说明理由.
(4)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边为2,它的另外两边长应是多少?
四、检测反馈
1.下列各组图形中不一定相似的是 ( A )
A.各有一个角是80°的两个等腰三角形
B.各有一个角是100°的两个等腰三角形
C.各有一个角是130°的两个等腰三角形
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D.两个等腰直角三角形
2.有甲、乙两块三角形木板,甲三角形木板的三边长分别为2,,,乙三角形木框的三边长分别为3,2,2,则甲、乙两个三角形 ( C )
A.不一定相似 B.一定不相似
C.一定相似 D.无法判断
3.如图,下列三角形的顶点都在正方形网格的格点上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是 ( B )
4.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若=,则下列两个三角形中一定相似的是 ( B )
A.△AOB与△AOD
B.△AOB与△COD
C.△AOB与△COB
D.△AOD与△COB
5.如图,下列条件中,能使△ACD∽△ABC的是 ( D )
A.= B.=
C.CD2=AD·BD D.AC2=AD·AB
五、课堂小结
相似三角形的判定方法
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(1)平行于三角形一边的直线和其他边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
(3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
六、板书设计
课题:27.2.1相似三角形的判定 第2课时
三边对应成比例的两个三角形相似
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
练习
图形语言
符号语言
图形语言
符号语言
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