相似三角形应用举例
一课一练·基础闯关
题组一 利用标杆测量物体的高度
1.(教材变形题·P40例6)如图所示,在数学活动课上,几个同学用如下方法测量学校旗杆的高度:人站在距旗杆AB底部40m的C处望旗杆顶A,水平移动标杆EF,使C,F,B在同一直线上,D,E,A也在同一直线上,此时测得CF距离为2.5m,已知标杆EF长2.5m,人的视线高度CD为1.5m.则旗杆AB高为( )
A.16 m B.17.5 m C.20 m D.21.5 m
【解析】选B.如图,根据题意可得,DF′=CF=2.5m,DB′=CB=40m,CD=FF′=BB′=1.5m,EF′=EF-FF′=2.5-1.5=1(m),
∵△DEF′∽△DAB′,∴=,即=,解得AB′=16,所以旗杆AB的高为16+1.5=17.5(m).故选B.
【知识归纳】利用标杆测量物体的高度常见题型及特点
(1)图1类的题目较简单,可直接应用图中的两个相似三角形,根据相似三角形的性质列方程求解.
(2)图2类的题目较常见,可作出辅助线构造两个相似三角形,将问题转化为图1类的问题来解决.
2.冬至是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻,只要此时能照到阳光,一年四季就均能受到阳光照射.此时竖一根a米长的竹竿,其影长为b米,某单位打算建
m米高的南北两幢宿舍楼(如图).若后楼的采光一年四季不受影响,则两幢楼至少应相距( )
A.米 B.米 C.米 D.abm米
【解析】选A.设两幢楼至少相距x米,则=,所以x=.
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3.如图,小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点E.C,E,A三点在同一条直线上.点B,D分别在点E,A的正下方,且D,B,C三点在同一条直线上.B,C相距20m,D,C相距60m,乙楼高BE为15m,则甲楼高AD为(小明身高忽略不计)( )
A.15m B.30m C.45m D.60m
【解析】选C.由题意知,△CBE∽△CDA,
∴=,∴=,
∴AD=45.
4.小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时,要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示.在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米,AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为( )
世纪金榜导学号67994063
A.3米 B.0.3米
C.0.03米 D.0.2米
【解析】选B.由题意知,△OAA′∽△OBB′,
∴=,∴=,
∴BB′=0.0015×=0.3.
5.如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上,已知DE=0.5m,EF=0.25m,目测点D到地面的距离DG=1.5m,到旗杆的水平距离DC=20m,求旗杆的高度.
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【解析】根据题意,∠DEF=∠DCA=90°,
∠EDF=∠CDA.
∴△EDF∽△CDA,∴=,
∴=,∴CA=10,
∴AB=AC+CB=AC+DG=10+1.5=11.5.
即旗杆的高度为11.5m.
6.如图,某测量员与标杆顶端F,水塔顶端E在同一直线上,此人眼睛距地面1.6米,标杆的长为3.2米,且BC=1米,CD=5米,求水塔的高ED. 世纪金榜导学号67994064
【解析】过点A作AM⊥DE于点M,交FC于点N,则△ANF∽△AME,且四边形ABDM为矩形,
∴=,
∴=,
∴EM=6×1.6=9.6,
又DM=AB=1.6,
∴ED=1.6+9.6=11.2(米).
题组二 运用三角形相似的知识,解决视线看不到的地方等问题
1.如图所示,在房子外的屋檐E处安有一台监视器,房子前有一面落地的广告牌,那么监视器看不到的区域是( )
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A.△ACE B.△BFD
C.四边形BCED D.△ABD
【解析】选D.由图片可知,监视器看不到的区域在三角形ABD内.
2.如图,A,B两点之间隔着一座山,现测得AC=a,BC=b,D在AC上,且CD=,又测得BD=c,则AB=________,如果要使开凿的隧道在直线AB上,∠α应等于图中的∠________. 世纪金榜导学号67994065
【解析】∵AC=a,BC=b,CD=,
∴CD=,∴=,又∠C=∠C,
∴△CBD∽△CAB,∴∠A=∠CBD,
∴=,∴=,
∴AB=bc,∴AB=bc·=.
答案: CBD
3.如图,小明在A时测得某树的影长为2m,B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为______m.
【解析】如图,由题意知∠ACB=90°,CD⊥AB,
AD=2,BD=8,
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∵∠1+∠2=90°,∠B+∠2=90°,∴∠1=∠B,
∴△ACD∽△CBD,∴=,
∴CD2=AD·BD=2×8,∴CD=4.
答案:4
4.如图,零件的外径为30mm.现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)测量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2,且量得CD=12mm,则零件的厚度x=__________mm.
世纪金榜导学号67994066
【解析】∵AC=BD,OC=OD,∴OA=OB,∴==,
又∠COD=∠AOB,∴△COD∽△AOB,∴==.
又CD=12,∴AB=24,∴x==3.
答案:3
5.如图是小孔成像原理的示意图,根据图中所标注的尺寸,求以AB为直径的圆在暗盒中所成的以CD为直径的圆的面积为__________cm2.
【解析】设以AB和CD为直径的圆的面积分别为S1和S2,由题意知=,
∴=36,∴S2=π.
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答案:π
如图,要测量河两岸相对的两点A和B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C,D,再作BF的垂线DE,使A,C,E三点在同一直线上. 世纪金榜导学号67994067
若CD=BC,这时测得DE的长就是AB的距离,为什么?
【解析】∵AB⊥BF,ED⊥BF,∴∠ABC=∠EDC=90°.
在△ABC和△EDC中,∴△ABC≌△EDC(ASA),∴DE=AB.
【母题变式】(改变条件)
若CD≠BC,量得BC=10m,CD=20m,DE=30m,你能求出A,B间的距离吗?
【解析】∵∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC∽△EDC.∴=,即=.∴AB=15.
答:A,B间的距离是15m.
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