27.2.2 相似三角形的性质
【教学目标】
知识技能目标:
1.了解并掌握相似三角形的性质.
2.用相似三角形的性质解决简单的问题.
过程性目标:
经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中引领学生体验解决问题策略的多样性.
情感态度目标:
通过探索相似多边形的性质,体验化归思想.
【重点难点】
重点:理解并掌握相似三角形的性质.
难点:探索相似三角形周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
【教学过程】
一、创设情境
两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,还可以得到许多有用的结论.例如,在图中,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD,A′D′分别为BC,B′C′边上的高,那么AD,A′D′之间有什么关系?
二、探索归纳
探究1.如果两个三角形相似,它们的周长之间什么关系?两个相似多边形呢?(学生小组讨论)
△ABC∽△A′B′C,相似比为k,
∵===k,
∴AB=kA′B′,BC=kB′C′,CA=kC′A′,
∴==k,
结论:相似三角形周长的比等于相似比.
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教师提出问题,先让学生大胆猜想,再通过推理验证猜想的结论,在小组内与其他同学交流,归纳结论.教师让学生书写证明过程.
教师引导学生推理验证结论(先由三角形相似得到对应边的比,再得周长的比的关系.)
学生思考、分析、写出证明过程,小组交流.
教师引导学生类比相似三角形得到相似多边形的性质“相似多边形周长的比等于相似比”.
结论:相似多边形周长的比等于相似比.
探究2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比与相似比有怎样的关系?
教师提出问题,要求小组讨论完成.
学习组长把学习小组分工,分别来研究三个问题,最后一起交流,得出结论.
探究3.如果两个三角形相似,它们的面积之间有什么关系?两个相似多边形呢?(学生小组讨论)
△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,它们的面积比是多少?
解:分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵∠ADB=∠A′D′B′=90°,又∠B=∠B′.
∴△ABD∽△A′B′D′.
∴==k.
∴===k2.
结论:相似三角形对应高的比等于相似比,相似三角形面积比等于相似比的平方.
三、新知应用
例:如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的边BC上的高是6,面积是12,求△DEF的边EF上的高和面积.
师生活动:师生一起分析△ABC和△DEF具有什么关系,相似三角形的对应高,对应面积有什么关系?
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四、检测反馈
1.已知△ABC∽△DEF,且AB∶DE=1∶2,则BC的中线与EF的中线之比为
( )
A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1
设计意图:考查“相似三角形对应线段的比等于相似比”的运用.
2.在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,如果△ABC的周长是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积依次为 ( )
A.8,3 B.8,6 C.4,3 D.4,6
设计意图:结合三角形相似的判定,考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用.
3.已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25,则△ABC与△DEF的相似比为________.
设计意图:考查“相似多边形面积的比等于相似比的平方”的运用.
4.已知两个相似三角形周长比为1∶2,它们的面积和为25,则较大三角形面积为__________.
设计意图:考查“相似三角形周长的比等于相似比”和“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用.
5.如图,▱ABCD中,点E是AB延长线上一点,DE交BC于点F,已知BE∶AB=3∶2,
S△BEF=4,求S△CDF.
设计意图:结合平行四边形的性质,考查“相似三角形面积的比等于相似比的平方”的运用.
五、课堂小结
1.通过这节课,同学们学到了什么?
(1)相似三角形周长的比等于相似比,相似多边形周长的比等于相似比.
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
2.对本节课你有什么困惑?
六、板书设计
课题:27.2.2相似三角形的性质
图形
性质
内容
练习
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