27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时
【教学目标】
知识技能目标:
1.了解相似三角形及相似比的概念.
2.掌握平行线分线段成比例的基本事实和推论,三角形相似的预备定理(平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似).
过程性目标:
通过相似三角形与相似多边形判定方法和全等三角形判定方法的类比,体会特殊与一般和全等与相似的关系.由此不仅引出相似三角形的概念,而且探究得到相似三角形的判定定理,在此基础上进一步掌握相似三角形的判定方法.
情感态度目标:
1.经历两个三角形相似的探索过程,体验分析归纳得出数学结论的过程,进一步发展学生的探究、交流能力.
2.通过与相似多边形和三角形全等的条件类比,渗透类比的数学思想,并领会特殊与一般的关系.
【重点难点】
重点:掌握平行线分线段成比例的基本事实,利用平行线判定相似三角形,能利用相似三角形性质解决边和角计算的问题.
难点:探索平行线判定相似三角形的方法.
【教学过程】
一、创设情境
知识回顾
1.相似多边形的概念:两个边数相同的多边形,如果它们所有的角分别相等、所有的边成比例,那么这两个多边形相似.
2.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
3.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a∶b=c∶d,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段.
二、探索归纳
探究活动一:尝试给出相似三角形的定义
1.什么样的多边形叫做相似多边形?相似多边形有什么性质?
2.三角形是最简单的多边形,那么什么样的三角形叫做相似三角形呢?
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3.如图1,请你用数学符号描述相似三角形的定义和性质.
(1)△ABC∽△A′B′C′.
(2)相似比是带有顺序性和对应性的:
如果△ABC与△A′B′C′的相似比是k,那么△A′B′C′与△ABC的相似比就是,它们的关系是互为倒数.这一点在教学中结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解.
4.如果相似比为k=1时,这两个三角形有怎样的关系?
设计意图:通过相似多边形定义迁移到相似三角形的定义,使学生明白前后知识的过渡,对本章的认识有一个全面的了解,同时为本课的学习奠定良好的基础.
探究活动二:探索平行线分线段成比例问题
1.如图2,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2都相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的线段AB,BC,AC和在l2上截得的线段DE,EF,DF的长度.
(1)根据度量的线段长度,你能建立哪些线段成比例关系?请你尝试写出来.
(2)讨论:这些成比例的线段有什么位置关系?
2.在图2中,如果平移直线l2,使得点A与点D重合(如图3),那么l4看成平行于△ACF的边CF的直线,l3就可以忽略,图2中的结论还成立吗?
3.在图2中,如果平移直线l2,使得点B与点E重合(如图4),那么l3看成平行于△BCF的边CF的直线,l4就可以忽略,图2中的结论还成立吗?
4.平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形中,会有什么结论?
设计意图:1.先测量所截线段的长度,尝试建立成比例的关系,在这个过程中,学生可能建立很丰富的比例关系的形式,再通过学生讨论、交流概括出结论,这种依据在学生充分活动经验的基础上,得出的结论就会更深刻;2.通过动态的图形变换,有利于学生看到前后联系.
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探究活动三:探究平行线判定相似三角形的方法
问题1:如图5,在△ABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC于D,E,△ADE与△ABC有什么关系?如何证明呢?
(1)要证明△ADE与△ABC相似,根据定义,需要哪些条件?
(2)从角看:∠A=∠A,∠B=∠ADE,∠C=∠AED不难证明;
(3)从边看:由平行线分线段成比例的事实,容易得到=,而中DE不在BC的边上,运用什么方法将DE转化在BC的边上呢?
如果DE通过平移到BC上,得到BF=DE,则有可以转化为,又由EF∥AB,即可得出=,从而得到==.
问题2:尝试描述上述结论,并用数学符号表示出来.
问题3:这个结论还有其他情况吗?(DE在BA和CA的延长线上,DE∥BC,即平行线判定相似三角形的基本图形,就像英文字母的“A”和“X”型.)
设计意图:1.学生对DE不在BC上的判定与平行线分线段成比例基本事实中的线段位置关系判断容易混淆,教师要注意加以引导;2.对“A”和“X”型的总结,有助于学生深刻认识.
三、新知应用
例1 如图,直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,直线l4,l5交于点O,且l1∥l2∥l3,已知EF∶DF=5∶8,AC=24.
(1)求的值.
(2)求AB的长.
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分析:(1)根据l1∥l2∥l3推出=;(2)根据l1∥l2∥l3,推出==,代入AC=24,求出BC即可求出AB.
解:(1)∵l1∥l2∥l3,∴=.又∵EF∶DF=5∶8,∴EF∶DE=5∶3,∴=.
(2)∵l1∥l2∥l3,EF∶DF=5∶8,AC=24,∴==,∴BC=15, ∴AB=AC-BC=24-15=9.
例2 如图,在平行四边形ABCD中,E为AB延长线上的一点,AB=3BE,DE与BC相交于点F,请找出图中所有的相似三角形,并求出相应的相似比.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,
AB∥CD,∴△EFB∽△EDA,△EFB∽△DFC,
∴△DFC∽△EDA,∵AB=3BE,∴相似比分别为1∶4,1∶3,3∶4.
四、检测反馈
1.如图,△ABC∽△AED,∠ADE=75°,∠A=60°,则∠C等于 ( C )
A.45° B.60° C.75° D.80°
2.如图,直线l1∥l2∥l3,若AB=4,BC=6,DE=2,则EF的值为 ( B )
A. B.3 C.12 D.
3.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1、l2、l3于点A,B,C,直线DF分别交l1、l2、l3于点D,E,F,AC与DF相交于点G,且AG=5,GB=3,BC=10,则的值为 ( D )
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A. B. C. D.
4.如图,△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,则下列比例式中正确的是 ( B )
A.= B.=
C.= D.=
5.如图,在△ABC中,DE∥BC,CE∶AE=5∶3,DE=12,则BC等于 ( A )
A.32 B.24 C.20 D.16
五、课堂小结
(1)判定相似三角形有哪些方法?你更喜欢用什么方法?
(2)“平行线分线段成比例的基本事实”和“平行线分线段成比例的基本事实在三角形中应用的结论”与“平行线判定相似三角形”有什么关系?
六、板书设计
课题:27.2.1相似三角形的判定 第1课时
相似三角
形的定义
平行线分线
段成比例定理
练习
图形
图形
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