相似三角形的判定
一课一练·基础闯关
题组一 利用三边成比例判定两个三角形相似
1.如果把一个三角形的每条边都扩大为原来的3倍,那么所得的三角形的每个
角( )
A.都扩大为原来的3倍 B.都扩大为原来的6倍
C.都扩大为原来的9倍 D.都与原来相等
【解析】选D.根据题意得,扩大后的三角形与原三角形的三边对应成比例,∴所得的三角形与原三角形相似,
∴三角形的每个角都与原来相等.
2.(教材变形题·P42习题27.2T3)如图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
【解析】选C.设每个小正方形的边长为1,根据勾股定理计算出每一边的长度,长短对应,则满足三边对应比值相等的两三角形相似,因此①,2,,②,,3,③2,2,2,④3,,4,所以①与③相似.
【知识归纳】网格中的三角形相似判别的方法
1.设网格中小正方形的边长为1,根据勾股定理分别计算出两个三角形的各边长.
2.按由小到大顺序排列,计算出对应边的比值.
3.根据比值是否相等判断两个三角形是否相似.
3.已知,△ABC的三边分别为6cm,7.5cm,9cm,△DEF的一边长为4cm,当△DEF的另外两条边长是下列哪组时,这两个三角形相似 世纪金榜导学号67994032( )
A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm
C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm
【解析】选C.设△DEF的另两边长为xcm和ycm,若△DEF的4cm长的边与△ABC的6cm长的边对应,则==,∴x=5,y=6.若△DEF的4cm长的边与△ABC的7.5cm长的边对应,则==,∴x=,y=.
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若△DEF的4cm长的边与△ABC的9cm长的边对应,则==,∴x=,y=,故选C.
4.如图,在正方形网格上,与△ABC相似的三角形是( )
世纪金榜导学号67994033
A.△AFD
B.△AED
C.△FED
D.不能确定
【解析】选A.设方格中每个小正方形的边长为1,则△ABC的三边长分别为2,2,2,△AFD的三边分别为4,4和4,而===,∴△ABC∽△AFD.
【变式训练】如图,在正方形网格上,若使△ABC∽△PBD,则点P应在________.
【解析】若使△ABC∽△PBD,需==,
又BD=4,BC=2,∴==2,∴PB=2AB=4,
PD=2AC=4,故P应在P3上.
答案:P3
5.如图,若==,则∠DAB=________.
世纪金榜导学号67994034
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【解析】∵==,∴△ABC∽△ADE,
∴∠DAE=∠BAC,∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,
∴∠DAB=∠EAC.
答案:∠EAC
【方法技巧】已知三边长判定两个三角形是否相似的方法
(1)计算:分别计算每个三角形三边的比(按从小到大的顺序).
(2)判断:若两个三角形三边的比相等,则三角形相似,否则不相似.
6.如图,A(1,0),B(3,0),C(0,3),D(2,-1),P(2,2).
世纪金榜导学号67994035
(1)问:△ABC与△ADP相似吗?说明理由.
(2)点D关于y轴的对称点为D′,连接AD′,CD′.判断△ACD′的形状,并说明理由.
【解析】(1)相似.理由如下:由已知得AB=2,BC=3,AC=,AD=,PD=3, AP=,∴=,=,=,即==.∴△ABC∽△ADP.
(2)△ACD′是等腰直角三角形.
理由如下:∵AC=AD′=,CD′=2,∴CD′2=AC2+AD′2.∴△ACD′是等腰直角三角形.
题组二 利用两边成比例和夹角相等判定两个三角形相似
1.能判定△ABC与△A′B′C′相似的条件是( )
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A.=
B.=,且∠A=∠C′
C.=,且∠B=∠A′
D.=,且∠B=∠B′
【解析】选C.∵AB与BC的夹角为∠B,A′B′与A′C′的夹角为∠A′,故当=,且∠B=∠A′时,△ABC与△A′B′C′相似.
2.下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
【解析】选D.△ABC为直角三角形,且两直角边==,选项A,B中的三角形不为直角三角形;选项C中的三角形为直角三角形,但两直角边之比为;选项D中的三角形为直角三角形,且两直角边之比为=.
3.如图,用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳,可以用来测量工作内槽的宽度,设==m,且量得CD=b,则内糟的宽AB等于( )
世纪金榜导学号67994036
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A.mb B.
C. D.
【解析】选A.∵==m,∠COD=∠AOB,
∴△COD∽△AOB,∴===m,
又∵CD=b,∴AB=mb.
4.如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,且=.
世纪金榜导学号67994037
(1)求证:△ACD∽△CBD.
(2)求∠ACB的大小.
【解析】(1)∵CD是边AB上的高,
∴∠ADC=∠CDB=90°,
∵=,∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD,∴∠A=∠BCD,在△ACD中,∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.
【变式训练】已知:如图,P为△ABC中线AD上的一点,且BD2=PD·AD,求证:△ADC∽△CDP.
【证明】∵BD2=PD·AD,∴=.
∵BD=CD,∴=.
∵∠PDC=∠CDA,∴△ADC∽△CDP.
5.如图,在△ABC中,AD,BE分别是BC,AC边上的高,∠C=60°.
世纪金榜导学号67994038
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求证:(1)△DCE∽△ACB.
(2)DE=AB.
【证明】(1)∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
又∠C=60°,∴∠CAD=30°,∴CD=AC,
同理CE=BC,
∴==,又∠C=∠C,
∴△DCE∽△ACB.
(2)由(1)得△DCE∽△ACB,
∴==,∴DE=AB.
6.如图,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.
世纪金榜导学号67994039
(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB.
(2)当△PDB∽△ACP时,试求∠APB的度数.
【解析】(1)∵△PCD为等边三角形,
∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,
∴∠PCA=∠PDB=120°.
∴当=时,△ACP∽△PDB,
∴=,∴CD2=AC·DB.
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即当CD2=AC·DB时,△ACP∽△PDB.
(2)∵△ACP∽△PDB,∴∠BPD=∠A,
∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠A=∠PCD=60°,
∴∠APB=(∠APC+∠BPD)+∠CPD
=60°+60°=120°.
如图,已知在△ABC中,AB=6,AC=4,点P是AC的中点,过P的直线交AB于Q,若想得到以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,求AQ的长.
【解析】(1)若AP与AC对应,
∵∠PAQ=∠CAB,
则需=,即=,
∴AQ=3.
(2)若AP与AB对应,则需=,即=,
∴AQ=,
∴AQ的长为3或.
【母题变式】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0
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