相似三角形应用举例
一课一练·基础闯关
题组一 利用影子、反光镜测量物体的高度
1.(2017·深圳17所名校质检)如图,在同一时刻,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米,一棵大树的影长为5米,则这棵树的高度为( )
A.7.8米 B.3.2米 C.2.3米 D.1.5米
【解析】选B.设这棵树的高为x米,则
=,∴x=3.2.
2.小华自制了一台简易的幻灯机,其工作原理如图,幻灯片与屏幕平行,光源到幻灯片的距离是30cm,幻灯片到屏幕的距离是1.5m,幻灯片上小树的高度是10cm,则屏幕上小树的高度是 世纪金榜导学号67994057( )
A.50 cm B.500 cm C.60 cm D.600 cm
【解析】选C.设屏幕上小树的高度为xcm,
则=,
∴30x=1800,∴x=60.
【易错警示】(1)注意单位要统一.
(2)=.
【互动探究】此题中幻灯片的小树改为一个面积为10cm2的矩形,其他条件不变,则屏幕上矩形的面积为多少?
提示:设屏幕上矩形的面积为Scm2,则
=,∴S=360.
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∴屏幕上矩形的面积为360cm2.
3.如图,是利用镜子E的反射(反射角等于入射角)来测量旗杆CD的高度,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回移动,直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.若观测者的眼睛距地面的高度AB=1.6m,同一时刻量得BE∶DE=2∶11,则旗杆的高度为________m.
【解析】由题意知,∠ABE=∠D=90°,∠AEB=∠CED,
∴△ABE∽△CDE,
∴=,
即=,∴CD=8.8.
答案:8.8
4.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案. 世纪金榜导学号67994058
(1)所需的测量工具是:________.
(2)请画出测量示意图.
(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.
【解析】(1)皮尺、标杆(答案不唯一)
(2)测量示意图如图所示.
(3)测得标杆长DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c.
∵△DEF∽△BAC,∴=.
∴=,∴x=.
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5.一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一个路灯的高度CD.如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1m) 世纪金榜导学号67994059
【解析】设CD长为xm,
∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,
∴MA∥CD∥BN.
又∵EA=MA,∴EC=CD=xm.
∵CD∥BN,∴△ABN∽△ACD.
∴=,即=.
解得x=6.125.
经检验,x=6.125是原方程的解.6.125m≈6.1 m.
答:路灯高CD约为6.1m.
题组二 应用相似三角形测量宽(高)度
1.如图,为了估计河AB的宽度,在河对岸选定一个目标点A,再在河的这一边选定B和C,使AB⊥BC,然后选定点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D,此时测量得BD=120米,CD=60米,EC=50米,则河宽AB约是( )
A.110米 B.120米 C.100米 D.150米
【解析】选C.由题意知,∠ABD=∠ECD=90°,
又∵∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△ECD,
∴=,即=,∴AB=100.
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2.如图是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕点C转动,另一端B向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10cm.已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC的长之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆A端向下压( )
A.100 cm B.60 cm C.50 cm D.10 cm
【解析】选C.设A端向下压xcm,由题意知,
=,∴x=50.
3.如图所示的为农村一古老的捣碎器,已知支撑柱AB的高为0.3米,踏板DE长为1.6米,支撑点A到踏脚D的距离为0.6米,原来捣头点E着地,现在踏脚D着地,则捣头点E上升了 世纪金榜导学号67994060( )
A.1.2米 B.1米 C.0.8米 D.1.5米
【解析】选C.由题意知△DAB∽△DEF,∴=,
即=,∴EF=0.8.
4.如图,要测量池塘两端A,B的距离,可先取一个可以直接到达点A,B的点C,连接AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接ED,如果量出DE的长为25米,那么池塘的宽AB为________米.
【解析】∵=,=,∴==,
又∵∠ACB=∠DCE,∴△ACB∽△DCE,∴==2,
又∵DE=25,∴AB=50.
答案:50
5.在河两岸分别有A,B两村,现测得A,B,D在一条直线上,A,C,E在一条直线上,BC∥DE,DE=90m,BC=70m,BD=20m,则A,B两村间的距离为________m.
世纪金榜导学号67994061
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【解析】由题意,知△ABC∽△ADE,
∴=,
即=,解得AB=70.
答案:70
6.如图阴影部分表示东西方向的一条笔直公路,点A,B表示公路北侧间隔100米的两根电线杆所在的位置,点C表示电视塔所在的位置.小王在公路南侧自西向东沿直线行走,当他到达点P的位置时,点P,A,C在一条直线上,当他继续走120米到达点Q的位置时,点Q,B,C也在一条直线上.若AB∥PQ,且AB与PQ的距离是40米.求电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离.
【解析】过点C作CD⊥PQ交AB于点E,交PQ于点D,
∵AB∥PQ,∴CD⊥AB.
由题意知:PQ=120米,DE=40米,AB=100米,
∵AB∥PQ,∴△CAB∽△CPQ,
∴=,∴=,∴CD=240,
即电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离为240m.
某高中学校为高一新生设计的学生板凳如图所示.其中BA=CD,BC=20cm,BC,EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm,8cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50cm,那么横梁EF应为多长?(材质及其厚度等暂忽略不计) 世纪金榜导学号67994062
【解析】如图过点C作CG∥AB交AD于点G,交EF于点H,
∵BC∥EF∥AD,
∴四边形BEHC,BAGC均为平行四边形,
∴EH=AG=BC=20cm.
又∵AD=50cm,∴GD=30cm,
∵HF∥GD,
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∴△CHF∽△CGD,
∴=,∴=,
∴HF=24,∴EF=EH+HF=20+24=44(cm).
答:横梁EF应为44cm.
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