相似三角形的性质
一课一练·基础闯关
题组一 相似三角形的周长和面积
1.(2017·重庆中考B卷)已知△ABC∽△DEF,且相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的面积比为( )
A.1∶4 B.4∶1 C.1∶2 D.2∶1
【解析】选A.∵△ABC∽△DEF,且相似比为1∶2,
∴△ABC与△DEF的面积比为1∶4.
2.(易错警示题)△ABC和△DEF相似,且相似比为,其中一个三角形的面积为36,则另一个三角形的面积为( )
世纪金榜导学号67994048
A.16 B.81 C.27 D.16或81
【解析】选D.设所求三角形的面积为x,则有=或=,解得x=16或x=81.
3.(2017·辽阳首山二中模拟)如图,在▱ABCD中,E为AD的中点,已知△DEF的面积为1,则▱ABCD的面积为 世纪金榜导学号67994049( )
A.18 B.15 C.12 D.9
【解析】选C.∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△BCF,且==.
又∵S△DEF=1,∴S△BCF=4.又∵△DEF与△DCF同高,
∴===,∴S△DCF=2,∴S△BCD=6,
∴S▱ABCD=2S△BCD=12.
【一题多解】
选C.过点B作BM⊥AD于点M,AD∥BC,
∴△EDF∽△CBF,
∵DE∶BC=EF∶FC=1∶2,
设AD=m,BM=n,则DE=m,DE边上的高是n.
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根据△DEF的面积是1得到:×m×n=1,
∴mn=12,S▱ABCD=mn=12.
4.(2017·北京中考)如图,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则
S四边形ABNM=________.
【解析】∵M,N分别为AC,BC的中点,∴==,
∴==,∵S△CMN=1,∴S△ABC=4S△CMN=4,S四边形ABNM=3.
答案:3
5.如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,AB被截成三等份,则图中阴影部分的面积是________. 世纪金榜导学号67994050
【解析】过点A作AD⊥BC于点D,则BD=BC=3cm,
∴AD==3(cm),
∴S△ABC=×6×3=9(cm2).
又E,F为AB的三等分点,
∴=,=,∴=,
∴S△AEH=cm2.同理S△AFG=4cm2,
∴S阴影=4-=3(cm2).
答案:4cm2
6.如图,在△ABC和△EBD中,===.
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世纪金榜导学号67994051
(1)若△ABC与△EBD的周长差为60cm,求这两个三角形的周长分别是多少.
(2)若△ABC与△EBD的面积和为812cm2,求这两个三角形的面积分别是多少.
【解析】(1)设△ABC的周长为xcm,△EBD的周长为ycm.∵===,∴△ABC∽△EBD.∴解得
∴△ABC,△EBD的周长分别是100cm,40cm.
(2)设△ABC的面积为acm2,△EBD的面积为bcm2.
由题意,得解得
∴△ABC,△EBD的面积分别为700cm2,112cm2.
如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上(与点A,C不重合),Q点在BC上.
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.
【解析】(1)设CP=x,∵S△PQC=S四边形PABQ,
∴=.又∵PQ∥AB,
∴△CPQ∽△CAB,
∴===.
又∵x>0,∴x=2,即CP=2.
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(2)设CP=a,∵△CPQ∽△CAB,
∴=,即=,
∴CQ=a.
又∵△PQC与四边形PABQ的周长相等,
∴CP+CQ=PA+BQ+AB,即a+a=(4-a)++5,解得a=,即CP=.
题组二 相似三角形中的重要线段
1.(2017·重庆中考A卷)若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为( )
A.3∶2 B.3∶5
C.9∶4 D.4∶9
【解析】选A.∵△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,
∴对应高的比为3∶2.
2.已知△ABC∽△A′B′C′,其对应中线的比为,AD,A′D′分别是它们的角平分线,若AD=27,则A′D′的长为________.
世纪金榜导学号67994052
【解析】∵△ABC∽△A′B′C′,∴=.∵AD=27,∴A′D′=36.
答案:36
3. (2017·金华模拟)如图,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是________. 世纪金榜导学号67994053
【解析】过点A作AH⊥EF交EF于点H,交BC于点D.
∵l1,l2,…,l6是一组等距的平行线,
∴AD⊥BC,且=.
又∵△ABC∽△AEF,
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∴==,
∴=,∴EF=5.
答案:5
4.如图,△ABC∽△A′B′C′,AD,A′D′分别是这两个三角形的高,EF,E′F′分别是这两个三角形的中位线,与相等吗?为什么? 世纪金榜导学号67994054
【解析】=.理由如下:
∵△ABC∽△A′B′C′,AD,A′D′分别为△ABC与△A′B′C′的高线,
∴=.
又∵EF,E′F′分别为△ABC与△A′B′C′的中位线,
∴EF=BC,E′F′=B′C′,
∴==,∴=.
1.如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,CD=AB,点E,F分别为AB,AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为 世纪金榜导学号67994055( )
A. B. C. D.
【解析】选C.连接BD,∵E,F分别为AB和AD的中点,
∴EF为△ABD的中位线,
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∴EF=BD,EF∥BD,
∴==.
设S△AEF=S,则S△ABD=4S.
又∵DC∥AB,∴△ABD与△BCD是同高的三角形,
∴==,∴S△BCD=S△ABD=2S,
∴S五边形BCDFE=5S,∴=.
2.已知,如图,▱ABCD的对角线交于点O,M为AD的中点,连接CM交BD于点N,且ON=1. 世纪金榜导学号67994056
(1)求BD的长.
(2)若△DCN的面积为2,求四边形ABNM的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,OB=OD.
∴∠DMN=∠BCN,∠MDN=∠NBC.
∴△MND∽△CNB.
∴=.
∵M为AD的中点,∴MD=AD=BC,
即=.
∴=,即BN=2DN.
设OB=OD=x,则有BD=2x,BN=OB+ON=x+1,DN=x-1.∴x+1=2(x-1).解得x=3.
∴BD=2x=6.
(2)∵△MND∽△CNB,且相似比为1∶2,
∴MN∶CN=DN∶BN=1∶2.
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∴S△MND=S△C ND=1,S△BNC=4S△DNM=4.
∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6.
∴S四边形ABNM=S△ABD-S△MND=6-1=5.
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