27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时
【教学目标】
知识技能目标:
了解两角判定法和直角边斜边判定法的证明过程,理解两角判定法和直角边斜边判定法的含义并掌握它们的数学符号表述,能运用两角判定法和直角边斜边判定法判定三角形相似及解决简单的问题.
过程性目标:
1.经历探索相似三角形的判定定理(两角对应相等的两个三角形相似)的过程,加深对定理的理解.
2.经历探索相似三角形的判定定理(斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似)的过程,加深对定理的理解.
情感态度目标:
通过自主探究,合作交流,感受探索的乐趣和成功的体验,体会数学的合理性和严谨性,使学生养成积极思考的好习惯,同时培养学生的团队合作精神.
【重点难点】
重点:运用两角判定法和直角边斜边判定法判定三角形相似.
难点:证明两角判定法和直角边斜边判定法.
【教学过程】
一、创设情境
1.判定三角形相似有哪些方法?
2.如图,观察两副直角三角尺,其中有同样两个锐角(30°与60°或45°与45°)的两副直角三角尺大小可能不同.
(1)从形状看它们相似吗?
(2)它们分别满足了什么条件?(尽可能少)
3.请你画出两个三角形,其中△ABC满足:∠A=37°,∠B=65°,△A1B1C1满足:
∠A1=37°,∠B1=65°,观察这两个三角形相似吗?请你度量两个三角形三边长度,并验证.
二、探索归纳
问题探究1 两角分别相等的两个三角形相似
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【动手操作】
(1)同桌两个人分别画出△ABC,其中∠A=37°,∠B=65°.
(2)分别测量AB,BC的长度(或测量AC,AB的长度),判断两个三角形是否相似.
(3)根据操作、测量,猜想判定三角形相似的方法.
(4)能证明你的猜想吗?写出已知、求证和证明过程.
(5)用文字语言叙述你的结论,并用几何语言表示.
【师生活动】 在教师的指导下,学生完成画图、测量、猜想,小组合作交流结果后,共同探究证明方法,板书证明过程,教师及时帮助有困难的学生,并对学生的板书进行点评.
【课件展示】 两角分别相等的两个三角形相似
如图所示,已知在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证△ABC∽△A′B′C′.
证明:在线段A′B′上截取A′D=AB,过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E,则可得△A′DE∽△A′B′C′.
∵DE∥B′C′,∴∠A′DE=∠B′,
又∠B=∠B′,∴∠B=∠A′′DE,
又∵∠A=∠A′,A′D=AB,
∴△A′DE≌△ABC,
∴△ABC∽△A′B′C′.
【几何语言】 如图所示,∵∠B=∠B′,∠A=∠A′,∴△ABC∽△A′B′C′.
问题探究2 一条直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似
【思考】
(1)证明直角三角形全等的方法有哪些?
(SSS,SAS,ASA,AAS,HL)
(2)证明直角三角形相似可以用哪些方法?
(三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似)
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(3)类比直角三角形全等的判定方法,如果一条直角边和斜边分别成比例,两个直角三角形相似吗?
(4)尝试证明你的结论.
【师生活动】 学生思考回答,作出猜想,小组合作交流证明思路,板书书写过程,教师帮助有困难的学生,并对学生的回答和板书点评.
【课件展示】 一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.
如图所示,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,=.
求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
【教师引导分析】 由于三边成比例的两个三角形相似,而已知条件中有两边对应成比例,所以只需证明另一对直角边也成比例即可.在直角三角形中三边之间的关系满足勾股定理,所以可设==k,用勾股定理分别求出BC,B′C′的值,求得=k,从而得证.
证明:设==k,则AB=kA′B′,AC=kA′C′.
由勾股定理,得BC=,
B′C′=.
∴====k.
∴==
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
【追问】你能归纳判定两个直角三角形相似的条件吗?
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(一个锐角相等或两边成比例)
设计意图:通过教师设计的问题,学生思考后合作交流,类比直角三角形全等的判定,探索出直角三角形相似的判定方法,学生亲身经历知识的形成过程,体会数学的严谨性,提高分析问题的能力,让学生在探索中使数学思维得到提升.
三、新知应用
例1:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D.求AD的长.
解:∵ED⊥AB,∴∠EDA=90°,
又∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,
∴=,
∴AD==4.
【教师引导归纳】 通过证明三角形相似,得到三角形的对应边成比例求线段的长是常用的方法.
例2:如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,图中共有哪几对相似三角形?并选择其中一对进行证明.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,针对学生的困难进行引导分析,然后学生独立完成,并用文字语言叙述该题的结论.
分析:由CD⊥AB,得∠ADC=∠CDB=90°,所以图中共有三个直角三角形,根据直角三角形的两锐角互余,可得∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°,由同角的余角相等,得∠B=∠ACD,∠A=∠BCD,根据两角分别相等的两个三角形相似易得△ACD∽△ABC,△CDB∽△ACB,△ACD∽△CBD.
解:(1)△ACD∽△ABC,△CDB∽△ACB,
△ACD∽△CBD.
(2)答案不唯一.
证明△ACD∽△ABC如下:
∵∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,
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∴∠B=∠ACD,
又∵∠ACB=∠ADC=90°,
∴△ACD∽△ABC.
【归纳】 直角三角形斜边上的高把直角三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似.
四、检测反馈
1.如图,如果∠BAD=∠CAE,那么添加下列一个条件后,仍不能判定△ABC∽△ADE的是 ( C )
A.∠B=∠D B.∠C=∠AED
C.AB∶AD=DE∶BC D.AB∶AD=AC∶AE
2.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠ADC=∠BAC,则下列结论正确的是
( B )
A.△ABC∽△DAB B.△ABC∽△DAC
C.△ABD∽△ACD D.以上都不对
3.如图,在△ABC中,D为AB边上一点,要使△ABC∽△AED成立,还需要添加一个条件为∠ADE=∠C(答案不唯一).
4.如图,在△ABC中,P为AB上一点,在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB;④AB·CP=AP·CB.能满足△APC与△ACB相似的条件是①②③(只填序号即可).
5.如图,弦AB和CD相交于☉O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD.
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五、课堂小结
相似三角形的判定方法
(1)平行于三角形一边的直线和其他边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
(3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
(4)两角分别相等的两个三角形相似.
(5)直角三角形相似的判定方法:一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.一个锐角相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似.
六、板书设计
课题:27.2.1相似三角形的判定 第3课时
文本语言
练习
图形语言
符号语言
图形语言
符号语言
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