相似三角形的判定
一课一练·基础闯关
题组一 平行线分线段成比例的基本事实及推论
1.(2017·杭州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,若BD=2AD,则( )
A.= B.=
C.= D.=
【解析】选B.因为DE∥BC,所以===.
2.如图,已知AB∥CD∥EF,AD∶AF=3∶5,BE=12,那么CE的长等于( )
A.2 B.4 C. D.
【解析】选C.∵AB∥CD∥EF,∴=.即=.∴BC=.∴CE=BE-BC=12-=.
3.如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,那么的值等于________.
【解析】∵AG=2,GD=1,∴AD=AG+GD=2+1=3.
又∵AB∥CD∥EF,∴==.
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答案:
4.(2016·临沂中考)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,DE∥BC,EF∥AB.若AB=8,BD=3,BF=4,则FC的长为________. 世纪金榜导学号67994026
【解析】因为DE∥BC,EF∥AB,所以四边形BFED为平行四边形,所以BD=EF=3,BF=DE=4,设FC=x,根据三角形的平行线分线段成比例:可列式=,
即=,解得x=.
答案:
5.如图所示,l1∥l2∥l3,且AB=2BC,DF=5cm,AG=4cm,求GF,AF,EF的长.
【解析】∵l1∥l2∥l3,∴=.
又AB=2BC,AG=4,
∴=2,∴GF=2(cm),
∴AF=AG+GF=4+2=6(cm).
又==,∴=,∴EF=(cm).
6.已知:如图,在△APM中,AM∥BN,CM∥DN.求证:PA∶PB=PC∶PD. 世纪金榜导学号67994027
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【证明】∵AM∥BN,∴=.
∵CM∥DN,∴=.
∴=,即PA∶PB=PC∶PD.
题组二 判定两三角形相似的定理及应用
1.如图,在▱ABCD中,F是AB上的点,DF交AC于点E,如果CD=10,=,那么BF的长是( )
世纪金榜导学号67994028
A.4 B.5 C.6 D.8
【解析】选C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∴△AEF∽△CED.∴AE∶CE=AF∶CD.∵=,CD=10,∴AF=4.∴BF=AB-AF=10-4=6.
2.如图,在▱ABCD中,AC与BD交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF∶FC等于( )
世纪金榜导学号67994029
A.1∶4 B.1∶3 C.2∶3 D.1∶2
【解析】选D.∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,OB=OD,
∴△DEF∽△BEA,∴=.
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又点E为OD中点,∴==,
∴=,∴=.
3.(2017·自贡中考)如图,在△ABC中,MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N,若AM=1,MB=2,BC=3,则MN的长为________.
【解析】∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC,∴=,
∵AM=1,MB=2,BC=3,∴=,∴MN=1.
答案:1
4.(2017·镇江中考)如图,△ABC中,AB=6,DE∥AC,将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′,点D的对应点落在边BC上,已知BE′=5,D′C=4,则BC的长为________________.
【解析】①由条件“DE∥AC”可得△BDE∽△BAC,
即有=;②由题意可得BE=BE′=5,
BD=BD′=BC-D′C=BC-4,AB=6.设BC=x,
由①,②可列方程:=,解得x=2+(2-已舍),
故BC的长为2+.
答案:2+
5.如图,在▱ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形:__________. 世纪金榜导学号67994030
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【解析】∵BP∥DF,∴△ABP∽△AED.∵BE∥DC,
∴△BEF∽△CDF,∵BF∥AD,∴△EBF∽△EAD,
∴△CDF∽△AED,∴△ABP∽△CDF….
答案:△ABP∽△AED(答案不唯一)
6.如图,在▱ABCD中,E在AB上,CE,DB交于点F,若AE∶BE=4∶3,且BF=2,则DF=________.
【解析】∵AE∶BE=4∶3,∴=,
又四边形ABCD为平行四边形,
∴ABCD,∴△BEF∽△DCF,∴=,∴=,
∴DF=.
答案:
7.如图所示,已知DE∥BC,DF∥AC,且AE=3,AC=5,BC=10,求BF的长. 世纪金榜导学号67994031
【解析】∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DFCE为平行四边形,∴DEFC,∴△ADE∽△ABC,∴=,
∴=,∴DE=6,∴CF=6,∴BF=4.
1.如图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长为________.
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【解析】∵AB∥GH∥CD,
∴△CGH∽△CAB,△BGH∽△BDC,
∴=,=,
∴+=+=1,
∴+=1,∴GH=.
答案:
2.如图,AD为△ABC的中线,E为AD的中点,连接BE并延长交AC于点F,求证:CF=2AF.
【证明】过点D作DH∥BF交AC于点H.
∴=,=.∵点D是BC的中点,E为AD的中点,∴BD=DC,AE=DE,
∴FH=HC=AF,∴CF=2FH=2AF.
【知识归纳】平行线分线段成比例的基本事实辅助线作法“三原则”
1.构造“A型”图形.
2.构造“X型”图形.
3.过交点或分点作辅助线.
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