位似
一课一练·基础闯关
题组一 位似图形与坐标
1.如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为( )
A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1)
【解析】选A.以原点O为位似中心,相似比为时,A(6,3)的对应点C的横纵坐标都缩小为原来的,所以点C为(2,1).
【变式训练】如图,在△ABC中,点A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是( )
A.-a B.-(a+1)
C.-(a-1) D.-(a+3)
【解析】选D.根据题意,过点B,B′分别作BN⊥x轴于点N,
B′M⊥x轴于点M,则有OM=a,所以MC=a+1,设点B的横坐标为x,则有NC=-1-x,又相似比为1∶2,可得MC=2NC,即a+1=2(-1-x),解得x=-(a+3).
2.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),C(6,4),以原点O为位似中心,试将△ABC缩小为△A′B′C′,若缩小后的△A′B′C′与△ABC在原点的同侧且对应的比为1∶2,则A′,B′,C′三点的坐标分别为( )
A.(2,1),(4,1),(6,4)
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B.,(1,1),
C.,,(3,1)
D.(1,1),(2,1),(3,2)
【解析】选D.由题意知,A′,B′,C′的坐标分别为A,B,C坐标的倍,故选D.
3.将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点坐标是( )
A.(-4,-3) B.(-3,-3)
C.(-4,-4) D.(-3,-4)
【解析】选A.连接AA1及C1O并延长,交点即为P坐标为(-4,-3).
【知识归纳】要确定位似中心的方法,找出两对对应点,连线交点即为位似中心.
4.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为( )
世纪金榜导学号67994073
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A.(3,2) B.(3,1)
C.(2,2) D.(4,2)
【解析】选A.∵=,∴CD=×6=2,
∴BC=AB=CD=2.
∵===.设OA=x,则=.
∴x=1.∴点C坐标为(3,2).
5.(2017·滨州中考)在平面直角坐标系中,点C,D的坐标分别为C(2,3),D(1,0).现以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点D的对应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐标为________.
【解析】由“点B在x轴上且OB=2”可知B(2,0)或B(-2,0),所以线段CD与线段AB的相似比为1∶2或1∶(-2),根据“(x,y)以原点为位似中心的对应点坐标为(kx,ky)”知点A的坐标为(4,6)或(-4,-6).
答案:(4,6)或(-4,-6)
6.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1∶,点A的坐标为(0,1),则点E的坐标是__________. 世纪金榜导学号67994074
【解析】∵四边形OABC为正方形,且A的坐标为(0,1),∴点B的坐标为(1,1).
又相似比为1∶,
∴点E的坐标为(,).
答案:(,)
7.已知:如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,-3),B(3,-2),C(2,-4),正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度. 世纪金榜导学号67994075
(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1.
(2)以点C为位似中心,在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且△A2B2C2与△ABC的相似比为2∶1,并直接写出点A2的坐标.
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【解析】(1)如图所示:△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示:△A2B2C2即为所求,A2坐标(-2,-2).
题组二 图形变换
1.对于平面图形上的任意两点P,Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点
P′,Q′,保持PQ=P′Q′,我们把这种变换称为“等距变换”,下列变换中不一定是等距变换的是( )
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
【解析】选D.在平移、旋转、轴对称变换中,一定是等距变换,在位似变换中有时是等距变换,有时是不等距变换.
2.下列8个图形分别是原图形和经过一次变换所得的像,请将它们的编号按所指内容配对,填入下面的空格中.
(1)平移变换:________和________.
(2)旋转变换:________和________.
(3)轴对称变换:________和________.
(4)相似变换:________和________.
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【解析】根据平移变换、旋转变换、轴对称变换和位似变换的定义和性质可知:(1)平移变换:C和H.(2)旋转变换:A和G.(3)轴对称变换:D和E.(4)位似变换:B和F.
答案:(1)C H (2)A G (3)D E (4)B F
【知识归纳】图形的变换与坐标的变化
1.平移变换的规律:
(1)图形沿x轴平移后,所得新图形的各对应点纵坐标不变,当向右平移n个单位时,横坐标相应地加上n个单位,反之则减.
(2)图形沿y轴平移后所得新图形的各对应点的横坐标不变,当向上平移n个单位时,纵坐标相应地加上n个单位,反之则减.
2.轴对称变换的规律:
(1)以x轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数.
(2)以y轴为对称轴,则对应点的纵坐标相等,横坐标互为相反数.
3.位似变换:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应的坐标的比等于k或-k.
(2016·盐城中考)如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2,b1≠b2,那么称这两个一次函数为“平行一次函数”.如图,已知函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”. 世纪金榜导学号67994076
(1)若函数y=kx+b的图象过点(3,1),求b的值.
(2)若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形,位似中心为原点,相似比为1∶2,求函数y=kx+b的表达式.
【解析】(1)由已知得:k=-2,
把点(3,1)和k=-2代入y=kx+b中得:1=-2×3+b,
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∴b=7.
(2)根据相似比为1∶2得:函数y=kx+b的图象有两种情况:
①不经过第三象限时,过(1,0)和(0,2),这时表达式为:
y=-2x+2;
②不经过第一象限时,过(-1,0)和(0,-2),这时表达式为:
y=-2x-2.
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