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第5讲 经典动量守恒之碰撞
题一：质量为M的物块以速度v运动，与静止的质量为m的物块发生正碰，碰后二者的动量正好相等，则两物块的质量之比M/m可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题二：两个质量相等的小球在光滑水平面上沿同一直线同方向运动，A球的动量是8 kg·m/s，B球的动量是5 kg·m/s，A球追上B球时发生碰撞，碰后A、B两球的动量可能是（ ）
A．pA＝6 kg·m/s，pB＝7 kg·m/s B．pA＝3 kg·m/s，pB＝10 kg·m/s
C．pA＝－2 kg·m/s，pB＝14 kg·m/s D．pA＝7 kg·m/s，pB＝6 kg·m/s
题三：在光滑的水平面上有a、b两个小球，其质量分别为ma、mb，两球在t0时刻发生正碰，并且在碰撞过程中无机械能损失，两球碰后的v—t图象如图所示，下列关系正确的是（ ）
A．ma＞mb B．ma＜mb C．ma＝mb D．无法判断
题四：如图所示，一表面光滑的斜面静止于足够长的光滑水平面上，斜面的质量为M，高度为h，倾角为θ。一质量为m（m＜M）的小物块以一定的初速度沿水平面向右运动冲上斜面，不计冲上斜面过程中的机械能损失。如果斜面固定，则小物块恰能冲到斜面顶端。如果斜面不固定，则小物块冲上斜面后能达到的最大高度为（ ）
A．h B．h C．h D．h
题五：如图所示，质量为M的滑槽内有半径为R的半圆轨道，将滑槽放在水平面上，左端紧靠墙壁，一质量为m的物体从半圆轨道的顶端a点无初速度释放，b点为半圆轨道的最低点，c点为半圆轨道另一侧与a等高的点，不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
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A．m释放后能够到达c点
B．m运动的全过程中，机械能不守恒
C．当m首次从右向左到达最低点b时，M的速度达到最大
D．m从a点运动到b点的过程中，m与M系统的机械能守恒、水平方向动量守恒
题六：质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是四分之一圆周的光滑轨道，轨道下端切线水平，质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，重力加速度为g，如图所示。已知小球未从小车上端离开，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，大小之比为1∶3，则m∶M的值为（ ）
A．1∶3 B．3∶1 C．3∶5 D．5∶3
题七：如图所示，在沙堆表面放置一质量为M＝6.0 kg的长方形木块，其上再放一质量为m＝0.10 kg的爆竹，当爆竹爆炸时，因反冲作用而使爆竹上升，木块下陷。已知从爆竹爆炸到木块停止下陷历时t＝0.1 s，木块在下陷过程中受到的平均阻力f＝90 N，不计空气的阻力和火药的质量，g取10 m/s2，求爆竹能上升的最大高度。
题八：如图所示，用不可伸长的轻质细线将A、B两木球（可视为质点）悬挂起来，A、B之间的距离l＝3.2 m，其中木球A的质量mA＝90 g，木球B的质量mB＝100 g。现用打钉枪将一颗质量为m0＝10 g的钉子以竖直向上的初速度v0＝100 m/s打入并且停留在木球A中，木球A沿细线向上与木球B正碰后粘在一起竖直向上运动，恰好能够达到悬点O处。若钉子打入木球的时间和A、B两球碰撞的时间都极短，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
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（1）钉子打入木球A的过程中系统损失的机械能；
（2）木球B到悬点O的距离。
题九：在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）。已知A、B、C三球的质量均为m。
（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。
（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。
题十：某同学设计了如图所示的趣味实验来研究碰撞问题。用材料和长度相同的不可伸长的轻绳依次将N个大小相同、质量不等的小球悬挂于水平天花板下方，且相邻的小球静止时彼此接触但无相互作用力，小球编号从左到右依次为1、2、3、…、N，每个小球的质量为其相邻左边小球质量的k倍（k＜1）。在第N个小球右侧有一光滑轨道，其中AB段是水平的，BCD段是竖直面内的半圆形，两段光滑轨道在B点平滑连接，半圆轨道的直径BD沿竖直方向。在水平轨道的A端放置一与第N个悬挂小球完全相同的P小球，所有小球的球心等高。现将1号小球由最低点向左拉起高度h，保持绳绷紧状态由静止释放1号小球，使其与2号小球碰撞，2号小球再与3号小球碰撞……所有碰撞均为在同一直线上的正碰且无机械能损失。已知重力加速度为g，忽略空气阻力，小球每次碰撞的时间均可忽略不计。
（1）求1号小球与2号小球碰撞之前的速度v1的大小；
（2）若N＝3，求第3个小球与P小球发生第一次碰撞前的速度v3的大小；
（3）若N＝5，当半圆形轨道半径时，P小球第一次被碰后恰好能通过轨道的最高点D，求k值的大小。
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经典动量守恒之碰撞
题一：AB
详解：设碰撞后两者的动量都为p，根据动量守恒知总动量为2p，根据以及能量的关系得，解得，所以A、B正确。
题二：A
详解：碰撞过程中两小球组成的系统动量守恒，故C错误；碰后两物体若同向运动，后面物体的速度不能大于前面物体的速度，故D错误；碰撞后的动能不能增加，由计算得，，则A正确，B错误。
题三：B
详解：由题图知a球以一定的初速度与静止的b球碰撞，碰后a球反向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有mava＝mava'＋mbvb' 和，可得，。因为va'＜0，所以ma＜mb，选项B正确。
题四：D
详解：若斜面固定，由机械能守恒定律可得mv2＝mgh；若斜面不固定，系统水平方向动量守恒，有mv＝（M＋m）v1，由机械能守恒定律可得，联立以上三式可得h＇＝h。
题五：BC
详解：m第一次经过b点后对M做正功，m的机械能减小，不能够到达c点，A错误、B正确；M离开墙壁后，m与M系统水平方向动量守恒，故当m首次从右向左到达最低点b时，M的速度达到最大，C正确；m从a点运动到b点的过程中，m与M系统的机械能守恒、水平方向动量不守恒，D错误。
题六：C
详解：设小球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律可知m v0＝M v1－m v2，又，对整体由机械能守恒定律可得，联立解得，C正确。
题七：45 m
解析：设爆炸后爆竹的速度为v1，木块的速度为v2，爆竹上升的最大高度为h，取向下为正方向。
对木块，由动量定理有，解得v2＝0.5 m/s。
在爆炸瞬间，根据动量守恒定律得，则v1＝－30 m/s。
爆竹做竖直上抛运动的最大高度＝45 m。
题八：（1）45 J （2）0.45 m
详解：（1）规定竖直向上为正方向，设钉子打入木球后的瞬间木球A的速度为v，由动量守恒定律得m0v0＝（mA＋m0）v。
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根据能量守恒定律可知，钉子打入木球的过程中系统损失的机械能
ΔE＝，代入数据联立解得ΔE＝45 J。
（2）设木球A与木球B碰撞前瞬间速度大小为v1，
由运动学知识得－ v2＝－2gl，解得v1＝6 m/s。
设木球A与木球B碰撞后的速度大小为v2，
根据动量守恒定律有（mA＋m0）v1＝（mA＋m0＋mB）v2，解得v2＝3 m/s。
设木球B到悬点O的距离为h，
由运动学知识得－＝－2gh，代入数据联立解得h＝0.45 m。
题九：（1）（2）
详解：（1）设C球与B球结成整体D时，D的速度为v1，
由动量守恒定律有。
当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，
由动量守恒定律有。
联立得。
（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP，
由能量守恒有＋EP。
撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧恢复到自然长度时，弹性势能全部转变成D的动能。设D的速度为，则有EP＝。
以后弹簧伸长，A球离开挡板P并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为，由动量守恒有。
当弹簧伸到最长时，其弹性势能最大，设为EP＇，由能量守恒有＋EP＇。
解以上各式得EP＇＝。
题十：（1） （2） （3）
详解：（1）设1号小球的质量为，碰前的速度为v1。
对于1号小球，在由h高处运动到最低点的过程中，根据机械能守恒有，
解得。
（2）设1号、2号小球碰撞后的速度分别为和v2，2号小球的质量为m2，取水平向右为正方向。
对于1、2号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有，
根据机械能守恒有，
解得。
设2号、3号小球碰撞后的速度分别为和v3，3号小球的质量为m3，
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对于2、3号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有，
根据机械能守恒有，
同理可得3号小球被碰后的速度。
（3）设4号、5号小球碰撞后，5号小球的速度为v5，同理可得。
因为5号小球与P小球质量相等，可知二者发生碰撞后交换速度，所以P小球第一次被碰后的速度。
设P小球的质量为mP，则mP＝m5＝。
P小球第一次被碰后恰好能通过圆轨道的最高点D，设其通过最高点的速度为，
根据牛顿第二定律P小球在D点有，解得。
P小球由A到D的运动过程机械能守恒，有，
解得。
将代入上式联立解得。
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