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第8讲 电磁原子与动量的联系
题一：从宏观现象中总结出来的经典物理学规律不一定都能适用于微观体系。但是在某些问题中利用经典物理学规律也能得到与实际比较相符合的结论。例如，玻尔建立的氢原子模型，仍然把电子的运动看做经典力学描述下的轨道运动。他认为，氢原子中的电子在库仑力的作用下，绕原子核做匀速圆周运动。已知电子的质量为m，电荷为e，静电力常量为k，氢原子处于基态时电子的轨道半径为r1。
（1）氢原子处于基态时，电子绕原子核运动，可等效为环形电流，求此等效电流值。
（2）在微观领域，动量守恒定律和能量守恒定律依然适用。已知光在真空中的速度为c，氢原子在不同能级之间跃迁时，跃迁前后可认为质量不变，均为M。设氢原子处于基态时的能量为E1（E1＜0），当原子处于第一激发态时，能量为E1/4，求原子从第一激发态跃迁到基态时，放出的光子的能量和氢原子的反冲速度。
题二：处于静止状态的X原子核，经历一次α衰变后变成质量为M的Y原子核。放出的α粒子垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场，测得其做匀速圆周运动的半径为r。已知α粒子的质量为m，电荷量为q，求此衰变过程亏损的质量。
题三：如图所示，竖直平面MN与纸面垂直，MN右侧的空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场和水平向左的匀强电场，MN左侧的水平面光滑，右侧的水平面粗糙。质量为m、电荷量为－q的物体A静止在MN左侧的水平面上，一质量为m的不带电的物体B以速度v0冲向物体A并与之发生弹性碰撞，碰撞前后物体A的电荷量保持不变。求：
（1）碰撞后物体A的速度大小vA；
（2）若A与水平面的动摩擦因数为μ，重力加速度的大小为g，磁感应强度的大小为，电场强度的大小为。已知物体A从MN开始向右移动的距离为l时，速度增大到最大值。求：
a．此过程中物体A克服摩擦力所做的功W；
b．此过程所经历的时间t。
题四：如图所示，小车A的质量M＝2 kg，置于光滑水平面上，初速度v0＝14 m/s。质量m＝0.1 kg、电荷q＝＋0.2 C可视为质点的物体B，轻放在小车A的右端，A、B所在的空间存在着匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度B＝0.5 T，物体与小车之间有摩擦力的作用，设小车足够长，小车表面是绝缘的，g取10 m/s2。求：
（1）物体B的最大速度；
（2）小车A的最小速度；
（3）在此过程中系统增加的内能。
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题五：如图所示，LMN是竖直平面内固定的光滑绝缘轨道，MN水平且足够长，LM下端与MN相切。在OP与QR之间的区域内有一竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。C、D是质量为m和4m的绝缘小物块（可视为质点），其中D的电荷量为q，C不带电。现将物块D静止放置在水平轨道的MO段，将物块C从倾斜轨道的L处由静止释放，L距水平轨道的高为h，物块C沿轨道下滑进入水平轨道，然后与D相碰，碰后物体C被反弹滑至倾斜轨道的h/9处，物体D进入虚线OP右侧的复合场中继续运动（所带电荷量不变），最后从RQ侧飞出。求：
（1）物块D进入磁场时的瞬时速度vD；
（2）若物块D进入磁场后恰好做匀速圆周运动，求所加电场的场强大小E及物块D的电性；
（3）若物块D飞离复合场区域时速度方向与水平方向的夹角为60º，求物块D飞出QR边界时与水平轨道的距离d。
题六：如图所示，水平地面上方MN边界左侧，存在足够大的垂直纸面向里的匀强磁场和沿竖直方向的匀强电场（图中未画出），磁感应强度B＝1.0 T，边界右侧离地面高h＝3 m处有光滑绝缘平台，右边有一带正电的a球，质量ma＝0.1 kg、电荷量q＝0.1 C，以初速度v0＝3.4 m/s水平向左运动，与质量mb＝0.07 kg且静止于平台左边缘的不带电的绝缘b球发生正碰，碰后不粘连，且碰后a球恰好能做匀速圆周运动，两球均视为质点，g取10 m/s2。求：
（1）电场强度的大小和方向；
（2）碰后a球在电磁场中运动的最短时间；
（3）碰后a球落点的范围。（计算结果可用根号表示）
题七：如图（a）所示，在光滑绝缘水平面的AB区域内存在水平向右的电场，电场强度E随时间的变化如图（b）所示，不带电的绝缘小球P2静止在O点。t＝0时，带正电的小球P1以速度v0从A点进入AB区域，随后与P2发生正碰后反弹，反弹速度大小是碰前的倍，P1的质量为m1，带电量为q，P2的质量为m2＝5m1，A、O间距为L0，O、B间距，已知，。
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（1）求碰撞后小球P1向左运动的最大距离及所需时间；
（2）讨论两球能否在OB区间内再次发生碰撞。
题八：如图，在一光滑的绝缘水平面上，一对足够大的平行金属板、竖直固定放置，间距为d。两板间存在方向水平向右的匀强电场，电场强度大小为E。质量为m、电量为q的带正电小物块A从紧靠左板处由静止释放，与此同时，从紧靠右板处水平向左射入一个质量为M且不带电小物块B。一段时间后A、B恰好在两板间的中点发生碰撞并立刻结合成复合体C，带电量仍为q，小物块可视为质点。
（1）求小物块B射入时的初速度v0的大小。
（2）碰撞后复合体C向左运动且能到达左板处，求M与m之间应满足的关系。
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电磁原子与动量的联系
题一：（1） （2），
详解：（1）电子与原子核的库仑力提供电子做圆周运动所需的向心力，
故，解得，则等效电流。
（2）由能量守恒定律得，解得。
又，解得。
光子和氢原子系统动量守恒，有p光＝p氢＝m氢v氢＝，解得v氢＝。
题二：
详解：设α粒子的速度为v，衰变后剩余核的速度为。
由洛伦兹力提供α粒子做圆周运动所需的向心力，有，
在衰变过程中系统亏损的质量很小，可不予考虑，由动量守恒得Mv'＋mv＝0，
在衰变过程中亏损的质量转化为α粒子和剩余核的动能，即，
解得。
题三：（1） （2）a． b．
详解：（1）设A、B碰撞后的速度分别为vA、vB，由于A、B发生弹性碰撞，动量守恒，动能也守恒，则有，，
联立可得。
（2）a．A的速度达到最大值vm时，所受合力为零，如图所示。
竖直方向有，水平方向有，
根据动能定理得，联立可得。
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b．在此过程中，设A物体运动的平均速度为，地面对物体A的平均支持力为，根据动量定理有，，由运动学规律可知，联立可得。
题四：（1）10 m/s （2）13.5 m/s （3）8.75 J
详解：（1）若A、B能达到共同速度，则有Mv0＝(M＋m)，解得 m/s。此时洛伦兹力，显然A、B在达到共同速度前就分离了。
设B的最大速度为vm，则有qvmB＝mg，解得vm＝10 m/s。
（2）当物体B达到最大速度时，小车A的速度最小，设为v1。
由动量守恒得Mv0＝Mv1＋mvm，解得v1＝13.5 m/s。
（3）在此过程中系统损失的动能全部转化为内能，则＝8.75 J。
题五：（1） （2），带正电 （3）
详解：（1）设物块C下滑至水平轨道的速度为v；碰后物块C的速度为v1，物块D的速度为vD，以向右为正方向，则
对物块C，根据动能定理有，，联立解得。
碰撞时由动量守恒定律得，解得。
（2）若物块D做匀速圆周运动，则电场力与重力相等，有，得，物块D带正电。
（3）由几何关系得，又，
解得。
题六：（1）10 N/C，方向竖直向上 （2）2.1 s
（3）在距N点左边 m、右边 m的范围内
详解：（1）因为a球做匀速圆周运动，电场力等于重力，有qE＝mag，得E＝10 N/C，方向竖直向上。
（2）若两球发生弹性碰撞，设碰后a、b两球的速度分别为va1、vb1，则有mav0＝mava1＋mbvb1，，解得va1＝0.6 m/s。
若两球发生完全非弹性碰撞，设碰后的共同速度为va2，则有mav0＝(ma＋mb)va2，解得va2＝2 m/s。
所以碰后a球的速度为0.6 m/s≤va＜2 m/s。
碰撞后a球以2 m/s的速度在磁场中做匀速圆周运动的时间最短，由洛伦兹力提供向心力，有，解得＝2 m，。
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因为，解得θ＝60°，所以a球在磁场中转过的角度为120°，
则小球a磁场中运动的最短时间≈2.1 s。
（3）a球落在N点左边最大距离时，有 m，
a球从右边界飞出的最小半径 m，
设a球落在右边的距离为s，由平抛运动规律知h－2R'＝gt2，s＝vat，
其中，联立得。
由数学知识得，当R'＝1 m时，s有最大值。
因0.6 m≤R'≤1.5 m，故成立。
代入数据解得 m。
所以，a球可能的落点在距N点左边m、右边m的范围内。
题七：（1）， （2）能
详解：（1）小球P1到达O点的时间，与P2相撞时，电场刚好由零变为E0。
碰撞后，P1的速度，在电场中，P1的加速度，则P1向左运动的时间。
在t1时间内，一直存在电场，P1做匀减速运动，向左运动的最大距离。
（2）设碰后P2的速度为v2，根据动量守恒定律有m1v0＝m1v1＋m2v2，解得v2＝v0。
P2从O点运动到B点所需时间，在t2时间内，一直存在电场，则P1的位移x1＝v1t2＋at22＝2L。因为x1>L，所以在OB之间P1与P2能再次碰撞。
题八：（1） （2）M≥8m
详解：（1）当A、B相遇时，有，，， 联立解得。
（2）碰前瞬间A的速度，A、B碰撞过程动量守恒，取水平向左为正方向，得
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。若C恰好到达左板处，由动能定理得，联立解得M＝8m。所以，若C能到达左板处，M与m之间应满足M≥8m.。
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