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第6讲 动量弹簧
题一：光滑水平面上放着质量mA＝1 kg的物块A与质量mB＝2 kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与A、B均不拴接），用手挡住B不动，此时弹簧的弹性势能Ep＝49 J。在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示，放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆形光滑轨道，其半径R＝0.5 m，B恰能到达最高点C。取g＝10 m/s2，求：
（1）绳被拉断的瞬间，B的速度的大小；
（2）在绳被拉断的过程中，绳对B的冲量的大小；
（3）在绳被拉断的过程中，绳对A所做的功。
题二：如图，A、B、C三个木块的质量均为m，置于光滑的水平面上，B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不栓接，将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连，使弹簧不能伸展，B、C可视为一个整体。现A以初速度v0沿B、C的连线方向运动，与B相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离。已知C离开弹簧后的速度恰为v0，求弹簧释放的弹性势能。
题三：图中有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度系数为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER流体，它对滑块的阻力可调，起初滑块静止，ER流体对其阻力为0，弹簧的长度为L，现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块碰撞后粘在一起向下运动。为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为时速度减为0，ER流体对滑块的阻力需随滑块下移而变。忽略空气阻力，试求：
（1）下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能；
（2）滑块向下运动过程中加速度的大小；
（3）滑块下移距离为d时，ER流体对滑块阻力的大小。
题四：一弹簧竖直固定在地面上，上面连接一质量为1 kg的物体A，A处于静止状态，此时弹簧被压缩了0.15 m。质量也为1 kg的物体B从A的正上方h＝0.3 m处自由下落，碰后A、B结合在一起向下运动，已知重力加速度g＝10 m/s2，该弹簧形变量为x时的弹性势能为Ep＝kx2，其中k为弹簧的劲度系数。求：
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（1）碰后瞬间两物体的总动能；
（2）碰后A、B的最大动能。
题五：探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m和4m。笔的弹跳过程分为三个阶段：①把笔竖直倒立于水平硬桌面上，下压外壳使其下端接触桌面（见图a）；②由静止释放，外壳竖直上升至下端距桌面高度为h1时，与静止的内芯碰撞（见图b）；③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h2处（见图c）。设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受的重力，不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小；
（2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功；
（3）从外壳下端离开桌面到上升至h2处，笔损失的机械能。
题六：弹跳杆运动是一项广受欢迎的运动。某种弹跳杆的结构如图甲所示，一根弹簧套在T型跳杆上，弹簧的下端固定在跳杆的底部，上端固定在一个套在跳杆上的脚踏板底部。一质量为M的小孩站在该种弹跳杆的脚踏板上，当他和跳杆处于竖直静止状态时，弹簧的压缩量为x0。从此刻起小孩做了一系列预备动作，使弹簧达到最大压缩量3x0，如图乙（a）所示；此后他开始进入正式的运动阶段。在正式运动阶段，小孩先保持稳定姿态竖直上升，在弹簧恢复原长时，小孩抓住跳杆，使得他和弹跳杆瞬间达到共同速度，如图乙（b）所示；紧接着他保持稳定姿态竖直上升到最大高度，如图乙（c）所示；然后自由下落。跳杆下端触地（不反弹）的同时小孩采取动作，使弹簧最大压缩量再次达到3x0；此后又保持稳定姿态竖直上升，……，重复上述过程。小孩运动的全过程中弹簧始终处于弹性限度内。已知跳杆的质量为m，重力加速度为g。空气阻力、弹簧和脚踏板的质量、以及弹簧和脚踏板与跳杆间的摩擦均可忽略不计。
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（1）求弹跳杆中弹簧的劲度系数k，并在图丙中画出该弹簧弹力F的大小随弹簧压缩量x变化的示意图；
（2）借助弹簧弹力的大小F随弹簧压缩量x变化的F－x图象可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求在图乙所示的过程中，小孩在上升阶段的最大速率；
（3）求在图乙所示的过程中，弹跳杆下端离地的最大高度。
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动量弹簧
题一：（1）5 m/s （2）4 N·s （3）8 J
详解：（1）设B在绳被拉断的瞬间的速度为vB，到达C点时的速度为vC。
在C点有，
B在半圆形轨道上运动的过程中机械能守恒，有，
代入数据得vB＝5 m/s。
（2）设弹簧恢复到自然长度时B的速度为v1，取水平向右为正方向。
由动能定理得，由动量定理得，
代入数据得I＝－4 N·s，其大小为4 N·s。
（3）设绳断后A的速度为vA，取水平向右为正方向。
在绳断开的瞬间动量守恒，有，
对A应用动能定理，得，代入数据得W＝8 J。
题二：
详解：设碰后A、B、C的速度的大小为v，由动量守恒得mv0＝3mv。
设C离开弹簧时，A、B的速度大小为v1，由动量守恒得3mv＝2mv1＋mv0。
设弹簧的弹性势能为EP，从细线断开到C与弹簧分开的过程中，系统的机械能守恒，
有。
联立上式得弹簧释放的弹性势能。
题三：（1）mgL （2） （3）
详解：（1）设物体下落的末速度为v0，由机械能守恒定律得，
解得。
设碰后二者的共同速度为v1，由动量守恒定律得2mv1＝mv0，解得。
碰撞过程中系统损失的机械能为。
（2）设滑块的加速度大小为a，下移的距离为s，根据运动学规律，有2as＝，解得。
（3）滑块下移距离为d时，设弹簧的弹力为FN，ER流体对滑块的阻力为FER。
对滑块和物体进行受力分析，有，
弹簧的弹力FN＝k（d＋），
解得。
题四：（1）1.5 J （2）2.25 J
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详解：（1）B自由下落，由机械能守恒定律得mgh＝，
碰撞过程中动量守恒，以向下为正方向，有mv0＝2mv，
代入数据解得v＝ m/s，
碰后瞬间两物体的动能Ek＝×2mv2＝1.5 J。
（2）在A与B共同下降的过程中，当弹簧的弹力大小等于两物体重力时A、B的动能最大。
设A静止时弹簧的压缩量为x1，A、B达到最大速度时弹簧的压缩量为x2，则有
kx1＝mg，kx2＝2mg。
与平衡位置相比，A与B共同下落的距离Δx＝x2－x1＝0.15 m，
由机械能守恒得2mgΔx＝Ekmax－Ek＋ΔEp，
其中ΔEp＝，代入数据解得Ekmax＝2.25 J。
题五：（1）（2） （3）mg（h2－h1）
详解：设外壳上升高度为h1时速度为v1，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为v2。
（1）对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h2处，应用动能定理有
（4m＋m）g（h2－h1）＝（4m＋m），解得v2＝。
（2）外壳和内芯碰撞的过程动量守恒，有4mv1＝（4m＋m）v2，
解得v1＝。
设从外壳离开桌面到碰撞前瞬间弹簧做功为W，在此过程中，对外壳应用动能定理有
W－4mgh1＝4m，
解得W＝。
（3）在整个过程中，只有外壳和内芯碰撞时有能量损失，损失的能量为E损＝4m－（4m＋m），联立解得E损＝mg（h2－h1）。
题六：（1） 见解析 （2） （3）
详解：（1）小孩处于静止状态时，根据平衡条件有Mg＝kx0，
解得k＝。
F－x图如图所示。
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（2）利用F－x图象可知，图线与横轴所围的面积大小等于弹簧弹力做功的大小，则当弹簧压缩量为x时，弹性势能为Ep弾＝kx2。
图（a）状态弹簧的弹性势能为Ep弾1＝k（3x0）2，
小孩从图（a）至图（b）的过程，小孩先做加速运动后做减速运动，当弹簧弹力与重力等大时小孩向上运动的速度最大，设其最大速度为vmax，此时弹簧压缩量为x0，弹簧的弹性势能为Ep弾2＝k。
从图（a）至小孩向上运动速度达到最大的过程中，小孩和弹簧系统机械能守恒，因此有k（3x0）2＝Mg（3x0－x0）＋M＋k，
解得vmax＝。
（3）图（a）状态至弹簧长度为原长的过程中，小孩和弹簧系统机械能守恒。设小孩在弹簧长度为原长时的速度为v0，则有k（3x0）2＝Mg·3x0＋M。
小孩迅速抓住跳杆的瞬间，内力远大于外力，小孩和弹跳杆系统动量守恒。
设小孩和弹跳杆的共同速度为v1，规定竖直向上方向为正，有Mv0＝（M＋m）v1，
小孩和弹跳杆一起竖直上升至最高点，小孩和弹跳杆系统机械能守恒，
有（M＋m）＝（M＋m）ghmax，解得hmax＝。
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