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第7讲 动量定理及反冲模型
题一：长1.8 m的细绳，一端悬挂着质量为2 kg的小球，另一端系在距地面3.6 m的天花板上，现将小球靠到天花板上，如图所示，小球自由下落时，细绳被绷断，然后小球落地。小球下落的全部时间为1.0 s，若小球和绳相互作用的时间非常短，求小球受到的绳的冲量的大小。(g取10 m/s2)
题二：如图所示，一轻质弹簧上端悬挂于天花板，下端系一质量为2m的金属板A，金属板处于平衡状态，在A正上方高为h处有一质量为m的圆环B由静止下落，并与金属板A发生碰撞(碰撞时间极短)，然后两者以相同的速度运动，不计空气阻力，两物体均可视为质点，重力加速度为g。
（1）求碰撞结束的瞬间两物体的速度大小。
（2）碰撞结束后两物体以相同的速度一起向下运动，当两者第一次到达最低点时，它们之间相互作用力的冲量大小为I，求该过程中相互作用力的平均值。
题三：飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持飞船速度不变的问题，我国科学家早已将这一问题解决。假如有一宇宙飞船，它的正面面积S＝0.98 m2，以v＝2×103 m/s的速度进入宇宙微粒尘区，尘区每1 m3空间有一微粒，微粒的平均质量m＝2×10－4 g，若要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？（设微粒与飞船相碰后附着于飞船上）
题四：超高压数控万能切割机又称水刀，它能切割40 mm厚的钢板、50 mm厚的大理石等材料。水刀就是将普通的水加压,使其从口径为0.2 mm的喷嘴中以800~1 000 m/s的速度射出的水射流。任何材料能承受的压强都有一定的限度，下表列出了一些材料所能承受的压强极限。
橡胶
5×107 Pa
花岗岩
1.2×108~2.6×108 Pa
铸铁
8.8×108 Pa
工具钢
6.7×108 Pa
设想有一水刀的水射流横截面积为S，垂直入射的速度v＝800 m/s，水射流与材料接触后，速度为零，且不附着在材料上,水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，求：
（1）水刀产生的压强的表达式。
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（2）判断此水刀能切割上表中的哪些材料。
题五：一个静止的铀核（原子质量为232.037 2 u）放出一个α粒子（原子质量为4.002 6 u）后衰变成钍核（原子质量为228.028 7 u）。（已知原子质量单位1 u＝1.67×10－27 kg，1 u相当于931 MeV）
（1）写出核衰变反应方程。
（2）算出该核衰变反应中释放出的核能。
（3）假设反应中释放出的核能全部转化为钍核和α粒子的动能，则钍核获得的动能有多大？
题六：用中子轰击锂核（）发生核反应，产生氚和α粒子并放出4.8 MeV的能量。
（1）写出核反应方程式；
（2）上述反应中的质量亏损为多少(保留两位有效数字)；
（3）若中子与锂核是以等大反向的动量相碰，则α粒子和氚的动能之比是多少？
题七：深空探测一直是人类的梦想。2013年12月14日“嫦娥三号”探测器成功实施月面软着陆，中国由此成为世界上第3个实现月面软着陆的国家。如图所示为此次探测中，我国科学家在国际上首次采用的有接近段、悬停段、避障段和缓速下降段等任务段组成的接力避障模式示意图。请你应用学过的知识解决下列问题。
（1）已知地球质量约是月球质量的81倍，地球半径约是月球半径的4倍。将月球和地球都视为质量分布均匀的球体，不考虑地球、月球自转及其他天体的影响。求月球表面重力加速度g月与地球表面重力加速度g的比值。
（2）由于月球表面无大气，无法利用大气阻力来降低飞行速度，我国科学家用自行研制的大范围变推力发动机实现了探测器中途修正、近月制动及软着陆任务。在避障段探测器从距月球表面约100 m高处，沿与水平面成45°角的方向，匀减速直线运动到着陆点上方30 m处。已知发动机提供的推力与竖直方向的夹角为θ，探测器燃料带来的质量变化、探测器高度变化带来的重力加速度g月的变化均忽略不计，求此阶段探测器的加速度a与月球表面重力加速度g月的比值。
（3）为避免探测器着陆过程中带来的过大冲击，科学家们研制了着陆缓冲装置来吸收着陆时的冲击能量，即尽可能把探测器着陆过程中损失的机械能不可逆地转变为其他形式的能量，如塑性变形能、内能等，而不通过弹性形变来储存能量，以避免二次冲击或其他难以控制的后果。已知着陆过程探测器质量（包括着陆缓冲装置）为m，刚接触月面时速度为v
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，从刚接触月面开始到稳定着陆过程中重心下降高度为H，月球表面重力加速度为g月，着陆过程中发动机处于关闭状态，求着陆过程中缓冲装置吸收的总能量及探测器受到的冲量。
题八：一颗陨石在飞向质量为M的行星途中（沿着通过行星中心的直线）碰到绕此行星运行的空间站，空间站的轨道半径为R，质量为陨石质量的10倍。碰撞后陨石陷入空间站内，空间站过渡到与行星最近距离为0.5R的新轨道上，求碰撞前陨石的速度。(引力势能，式中G为引力常量)
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动量定理及反冲模型
题一：7 N·s
详解：小球开始时做自由落体运动，下落的距离h1＝1.8 m，历时t1＝0.6 s，末速度v1＝6 m/s。绳绷断后，小球做初速度为v2的竖直下抛运动，运动的距离h2＝1.8 m，历时t2＝0.4 s，解得初速度v2＝2.5 m/s。在细绳被崩断的瞬间，小球的重力可忽略不计，故小球受到的绳的冲量大小I＝mv1－mv2，即小球受到的绳的冲量的大小为7 N·s。
题二：（1） （2）
详解：（1）设B物体与A碰撞前的速度为v0，根据动能定理有mgh＝。
A、B碰撞结束的瞬间，二者达到共同速度，设为v，根据动量守恒有mv0＝(2m+m)v，
联立解得v＝。
（2）以竖直向下为正方向，从二者一起运动到速度为零的过程中，以B作为研究对象，根据动量定理有(mg－N) t＝0－mv，由题意知，I＝t，联立解得。
题三：0.78 N
详解：因为飞船速度保持不变，所以增加的牵引力应与微粒对飞船的作用力相等，由牛顿第三定律知，此力也与飞船对微粒的作用力相等，设为F。以时间t内附到飞船上的微粒为研究对象，由题意知，时间t内附到飞船上的微粒的质量M＝mSvt。设飞船的速度方向为正方向，由动量定理得Ft＝Mv＝mSvt·v，即F＝mSv2，解得F≈0.78 N。
题四：（1） （2）橡胶和花岗岩
详解：（1）取Δt时间内喷出的水为研究对象，这部分水的质量Δm＝ρSvΔt，这部分水经过Δt时间后速度由v变为零，取水的喷出方向为正方向，对这部分水应用动量定理得－FΔt＝Δm(0－v)，所以，，解得P＝6.4×108 Pa。
（2）根据（1）中的计算结果和题表中数据可知，该水刀能切割的材料有橡胶和花岗岩。
题五：（1） （2）5.492 9 MeV （3）0.095 MeV
详解：（1）。
（2）核反应中亏损的质量Δm＝(232.037 2－4.002 6－228.028 7) u＝0.005 9 u，
ΔE＝0.005 9×931 MeV＝5.492 9 MeV。
（3）铀核衰变的过程系统动量守恒，则有pTh＋(－pα)＝0，即pTh＝pα。
又因为，，且EkTh＋Ekα＝ΔE，
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所以钍核获得的动能 MeV。
题六：（1） （2）8.5×10－30 kg （3）3:4
详解：（1）根据质量数和电荷数守恒得。
（2）由质能方程得。
（3）设m1、m2、v1、v2分别为氦核、氚核的质量和速度，
由动量守恒定律得0＝m1v1＋m2v2，
氦核、氚核的动能之比。
题七：（1） （2）（3），mv
详解：（1）根据万有引力提供星球表面的重力可知，由黄金代换式有，，则。
（2）对探测器进行受力分析如图所示。
由正弦定理可得，解得。
（3）缓冲装置吸收的能量来源于探测器的动能和势能，
由能量守恒定律可得。
根据动量定理，探测器受到的冲量等于动量的变化量，即I＝Δp＝mv。
题八：
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详解：设碰撞前空间站的速度为v1，碰撞后空间站和陨石的瞬时速度为v2，空间站离行星最近时的速度为v，陨石的质量为m，空间站的质量为10m。
碰撞前，空间站绕行星做半径为R的匀速圆周运动，所以空间站的速度满足。
陨石和空间站的碰撞过程动量守恒，以碰撞前空间站运行的速度方向为x轴正方向，以陨石的速度方向为y轴的正方向，则有，。
碰撞后空间站过渡到椭圆轨道上，在沿椭圆轨道的运动过程中，空间站和陷入空间站内的陨石的能量保持不变，有。
根据开普勒第二定律得，解得u＝。
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