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第20讲 运动和力2017新题赏析
题一：交通信号“绿波”控制系统一般被称为“绿波带”，它是根据车辆运动情况对各路口红绿灯进行协调，使车辆通过时能连续获得一路绿灯。郑州市中原路上某直线路段每间隔L＝500 m就有一个红绿灯路口，绿灯时间Δt1＝60 s，红灯时间Δt2＝40 s，而且下一路口红绿灯亮起总比当前路口红绿灯滞后Δt＝50 s 。要求汽车在下一路口绿灯再次亮起后能通过该路口（即经过前一路口后，在下一路口第一次红灯亮之前通过该路口）。汽车可看做质点，不计通过路口的时间，道路通行顺畅。
某路口绿灯刚亮起时，某汽车恰好通过，要使该汽车保持匀速行驶，在后面道路上再连续通过五个路口，满足题设条件下，汽车匀速行驶的最大速度是多少？最小速度又是多少？（计算结果保留两位有效数字）
题二：交通规定：黄灯亮时车头已经越过停车线的车辆可以继续前行，车头未越过停车线的，若继续前行则视为闯黄灯。现有甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，当两车快要到十字路口时，甲车司机看到黄灯闪烁，黄灯提示3 s后将转为红灯。请问：
（1）若甲车在黄灯开始闪烁时刹车，要使车在黄灯闪烁的时间内停下来且刹车距离不得大于18 m，则甲车刹车前的行驶速度不能超过多少？
（2）若甲、乙两车均以v0＝15 m/s的速度驶向路口，乙车司机看到甲车刹车后也紧急刹车（乙车司机的反应时间Δt2＝0.4 s）。已知甲车、乙车紧急刹车时产生的加速度大小分别为a1＝5 m/s2、a2＝6 m/s2。若甲车司机看到黄灯闪烁时车头距停车线L＝30 m，要避免闯红灯，他的最长反应时间Δt1为多少？
（3）满足第（2）问的条件下，为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车刹车前的最小距离s0多大？
题三：如图所示为在某十字路口附近的一橡胶减速带，一警用巡逻车正以20 m/s的速度行驶在该路段，在离减速带50 m时巡逻车开始做匀减速运动，结果以5 m/s的速度通过减速带，通过后立即以2.5 m/s2的加速度加速到原来的速度。警用巡逻车可视为质点，减速带的宽度忽略不计。求由于减速带的存在，巡逻车通过这段距离多用的时间。
题四：公路人工收费站会影响道路的畅通，ETC应运而生，ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设道路上有并行的甲、乙两辆汽车，都以速度v1＝15 m/s朝收费站沿直线匀速行驶，现甲车过ETC通道，需要在某位置开始做匀减速直线运动，到达虚线EF处速度正好减为v2＝5 m/s，在虚线EF与收费站中心线之间以5 m/s的速度匀速行驶，通过收费站中心线后才加速行驶恢复原来速度，虚线EF处与收费站中心线的距离d＝10 m。乙车过人工收费通道，需要在中心线前某位置开始做匀减速运动，至中心线处恰好速度为零，经过20 s，缴费成功后再启动汽车匀加速行驶恢复原来速度。已知甲、乙两车匀加速过程的加速度大小均为a1＝1 m/s2，匀减速过程的加速度大小均为a2＝2 m/s2。
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（1）甲车过ETC通道时，从开始减速到恢复原来速度过程中的位移大小是多少？
（2）假设人工收费通道前有一列车队在匀速行驶，车距都为Δx2，当前一辆车从中心线起动行驶78.125 m时，后一辆车刚好停在中心线上，则Δx2为多大？
（3）假设有两列车队分别从ETC通道和人工收费通道通过，通过ETC通道的车队匀速行驶时相邻两车间均相距Δx1＝120 m，通过人工收费通道的车队匀速行驶时相邻两车间距均为Δx2，则每小时从ETC通道多通过多少辆车？
题五：一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5 m，如图（a）所示。t＝0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t＝1 s时木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短）。碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板。已知碰撞后1 s时间内小物块的vt图线如图（b）所示。木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s2。求：
（1）木板与地面间的动摩擦因数μ1及小物块与木板间的动摩擦因数μ2；
（2）木板的最小长度；
（3）木板右端离墙壁的最终距离。
题六：如图所示，在倾角θ＝30°、足够长的斜面上分别固定着相距L＝0.2 m、可视为质点的A、B两个物体，它们的质量为mA＝mB＝1 kg，它们与斜面间的动摩擦因数分别为μA＝、μB＝，在t＝0时刻同时撤去固定两物体的外力后，A物体沿斜面向下运动，并与B物体发生连续碰撞（碰撞时间极短，忽略不计），每次碰后两物体交换速度，取g＝10 m/s2，求：
（1）A与B第1次碰后瞬间B的速率；
（2）从A开始运动到两物体第2次相碰经历的时间。
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运动和力2017新题赏析
题一：最大速度为10 m/s，最小速度为 8.1 m/s
详解：若汽车刚好在绿灯亮起时通过第五个路口，则通过五个路口的时间t＝5Δt，此时匀速运动的速度最大。若汽车刚好在绿灯熄灭时通过第五个路口，则通过五个路口的时间为t′＝5Δt+Δt1＝310 s，此时匀速运动的速度最小。
题二：（1） 12 m/s （2）0.5 s （3） 2.4 m
详解：（1）设在满足条件的情况下，甲车的最大行驶速度为v1，则＝18 m，所以v1＝12 m/s。
（2）对甲车：，代入数据得Δt1＝0.5 s。
（3）设乙车减速运动的时间为t，当甲、乙两车速度相等时有v0－a2t＝v0－ a1（t＋Δt2）
解得t＝2 s，则v＝v0－a2t＝3 m/s，＝21.6 m，＝24 m，s0＝s2-s1＝2.4 m。
题三：3.75 s
详解：巡逻车做匀减速直线运动，由速度-位移公式可知，加速度a＝＝－3.75 m/s2，
减速需要的时间t1＝＝4 s，巡逻车加速的时间t2＝＝6 s，加速的位移s2＝＝75 m，巡逻车通过的总位移s＝s1＋s2＝125 m。
巡逻车匀速通过这段距离所用的时间t＝＝6.25 s，则多用的时间Δt＝t1＋t2－t＝3.75 s。
题四：（1） 160 m （2）487.5 m （3）340辆
详解：（1）甲车过ETC通道时，减速过程的位移为，可得x1＝50 m，
加速恢复原来速度的位移，可得x2＝100 m，所以总的位移x总＝x1＋d＋x2＝160 m。
（2）乙车在中心线处的停车时间t1＝20 s，匀加速78.125 m的时间＝12.5 s。
由于没有等待时间，即后一辆车和前一辆车做减速运动的时间是相同的，因此后一辆车比前一辆车到达中心线处的时间晚（t1＋t2），故两车正常行驶时的车距等于在前一辆车停车时间和加速时间内以速度v1匀速行驶的距离，即Δx2＝v1（t1＋t2）＝487.5 m。
（3）由于没有等待时间，每小时通过收费站的车辆即正常行驶时每小时通过某点的车辆数，因此ETC通道每小时通过的车辆数（辆）＝450（辆），人工收费通道每小时通过的车辆数（辆）≈110（辆），ETC通道多通过 Δn＝n1－ n2＝340辆车。
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题五：（1）0.1，0.4 （2）6.0 m （3）6.5 m
详解：（1）规定向右为正方向。木板与墙壁相碰前，小物块和木板一起向右做匀变速运动，设加速度为a1，小物块和木板的质量分别为m和M。
由牛顿第二定律有－μ1（m＋M）g＝（m＋M）a1 ①
由题图（b）可知，木板与墙壁碰前瞬间的速度v1＝4 m/s，由运动学公式得
v1＝v0＋a1t1 ②
s0＝v0t1＋a1t ③
式中，t1＝1 s，s0＝4.5 m是木板碰前的位移，v0是小物块和木板开始运动时的速度。
联立①②③式和题给条件得μ1＝0.1 ④
在木板与墙壁碰撞后，木板以－v1的初速度向左做匀变速运动，小物块以v1的初速度向右做匀变速运动。设小物块的加速度为a2，由牛顿第二定律有－μ2mg＝ma2⑤
由题图（b）可得a2＝ ⑥
式中，t2＝2 s， v2＝0，联立⑤⑥式和题给条件得
μ2＝0.4。 ⑦
（2）设碰撞后木板的加速度为a3，经过时间Δt，木板和小物块刚好具有共同速度v3。取向右为正方向，则a3为正，a2为负，由牛顿第二定律及运动学公式得
μ2mg＋μ1（M＋m）g＝Ma3 ⑧
v3＝－v1＋a3Δt ⑨
v3＝v1＋a2Δt ⑩
碰撞后至木板和小物块刚好达到共同速度的过程中，
木板运动的位移为s1＝Δt ⑪
小物块运动的位移为s2＝Δt ⑫
小物块相对木板的位移为Δs＝s2－s1 ⑬
联立⑥⑧⑨⑩⑪⑫⑬式，并代入数值得Δs＝6.0 m ⑭
因为运动过程中小物块没有脱离木板，所以木板的最小长度应为6.0 m。
（3）在小物块和木板具有共同速度后，两者向左做匀变速运动直至停止，设加速度为a4，此过程中小物块和木板运动的位移为s3。
由牛顿第二定律及运动学公式得
μ1（m＋M）g＝（m＋M）a4 ⑮
0－v＝2a4s3 ⑯
碰后木板运动的位移为s＝s1＋s3 ⑰
联立⑥⑧⑨⑩⑪⑮⑯⑰式，并代入数值得s＝－6.5 m ⑱
木板右端离墙壁的最终距离为6.5 m。
题六：（1）1 m/s （2）1.2 s
详解：（1）A物体沿斜面下滑时，由牛顿第二定律知mAgsin θ－μAmAgcos θ＝mAaA，代入数值得aA＝2.5 m/s2。
B物体沿斜面下滑时，由牛顿第二定律知mBgsin θ－μBmBgcos θ＝mBaB，代入数值得aB＝0。
即撤去固定A、B的外力后，物体B恰好静止于斜面上，物体A将沿斜面向下做匀加速直线运动，由运动学公式得A与B第1次碰撞前A的速度为vA1＝＝ m/s＝1 m/s，由于A、B碰撞后交换速度，故A、B第1次碰后瞬间B的速率为vB1＝1 m/s。
（2）从A开始运动到第1次与B碰撞用时t1＝ ＝ s＝0.4 s。
两物体相碰后，A物体的速度变为零，然后再做匀加速运动，而B物体将以1 m/s的速度沿斜面向下做匀速直线运动，设再经t2时间A与B相碰，则有vB1t2＝aAt，代入数值得t2＝0.8 s，从A开始运动到两物体第2次相碰共经历时间t＝t1＋t2＝1.2 s。
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