第五章 分式与分式方程
1.分式的概念及应用
(1)分式的判断：依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
【例1】下列式子是分式的是( )
A. B. C.+y D.
【标准解答】选B.因为，+y，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式.分母中含有字母，因此是分式.
(2)分式有意义、无意义、值为零的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0.这两个条件缺一不可.分式有意义的条件是分母不为0；分式无意义的条件是分母等于0.
【例2】如果分式的值为0，则x的值应为________.
【标准解答】根据分式的分子为0且分母不为0时，分式的值是0，可得解得x=-3.
答案：-3
1.下列式子：，，(a+b)，，，，，，其中分式的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若分式的值为0，则x的值等于______.
3.当x________时，分式有意义.
4.当x________时，分式的值为负.
2.分式的基本性质及应用
(1)分式的基本性质：利用分式的基本性质进行变形时，要特别注意同乘(或除以)的整式不等于0.
【例1】若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值( )
A.是原来的20倍 B.是原来的10倍
C.是原来的 D.不变
【标准解答】选D.根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变；可知该运算中分式的值没有改变.
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(2)分式的基本性质的应用——约分
在分式的化简中，若分子、分母中是多项式时，要把多项式先分解因式，再根据分式的基本性质“分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变”进行约分、化简.
【例2】化简分式的结果是________.
【标准解答】==.
答案：
(3)分式的基本性质的应用——通分
找最简公分母的方法：①找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.②找字母：凡各分母因式中出现的所有因式或含字母的式子都要选.③找指数：取各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数的最大值.
【例3】下列三个分式，，的最简公分母是( )
A.4(m-n)x B.2(m-n)x2
C. D.4(m-n)x2
【标准解答】选D.2x2，4(m-n)，x的最简公分母为4(m-n)x2.
1.下列运算正确的是( )
A.=-
B.=
C.=x+y
D.=-
2.化简：=________.
3.分式通分：和.
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3.分式的运算
(1)分式的乘除运算：首先根据分式除法的运算法则“分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘”把除法转化为乘法，然后把分子、分母分解因式，再进行约分即可.能正确进行约分是解题关键.
【例1】化简：÷.
【标准解答】原式=·=.
(2)分式的加减运算：首先通分，然后根据同分母的分式加减运算法则求解即可.
【例2】计算-的结果是( )
A.- B.
C. D.
【标准解答】选A.-=-==-.
(3)分式的混合运算：分式的混合运算的顺序与实数的混合运算的顺序相似，按照先乘方、再乘除、最后算加减的顺序进行，有括号的先算括号内的，若是同级运算，按从左到右的顺序进行.本题可按照分式的混合运算法则进行，先将括号里面的通分，然后将除法转换成乘法，约分化简得到最简分式或整式.注意运算顺序.
【例3】计算：÷.
【标准解答】原式=÷
=·=.
(4)分式的化简求值：首先对分式进行化简，先算括号里的，通分，把除法转化为乘法，再进行约分，把分式化成最简分式或整式，最后代入求值.
【例4】先化简÷，然后从-2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.
【标准解答】原式=·=.
x满足-2≤x≤2且为整数，若使分式有意义，x只能取0，-2.
当x=0时，
原式=-(或当x=-2时，原式=).
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1.计算-的结果为( )
A. B. C.-1 D.2
2.化简÷的结果是( )
A.-m-1 B.-m+1
C.-mn+m D.-mn-n
3.化简：÷的结果为________.
4.先化简÷，然后从不等式组的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值.
4.分式运算中的常用技巧
(1)整体通分法
因后两项不含分母，若将后两项看成一个整体，则可以整体通分，便可简捷求解.
【例1】化简：-a-1.
【标准解答】-a-1=-(a+1)
=-==.
(2)逐项通分法
注意到分式中各分母的特征，联想乘法公式，采用逐项通分法计算简便.
【例2】计算---.
【标准解答】---
=--
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=--
=-
=-=0.
(3)先约分，后通分
对于某些分式，根据其特点，可以将分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算简便.
【例3】计算：+.
【标准解答】+=+=+==2.
(4)整体代入法
若把已知条件直接代入所求代数式求值无法代入，可将已知条件和所求代数式进行适当变形，整体代入求值简单明了.
【例4】已知+=5，求的值.
【标准解答】方法一：∵+=5，∴xy≠0，
∴=
===.
方法二：由+=5得，=5，x+y=5xy，
∴=
===.
1.已知a>b，如果+=，ab=2，那么a-b的值为__________.
2.已知+=3，则代数式的值为________.
3.先化简，再求值：-÷，其中2x+4y-1=0.
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5.分式运算中的不完全归纳法
不完全归纳法是从一个或几个(但不是全部)特殊情况得出一般性结论的归纳推理.不完全归纳法又叫做普通归纳法.不完全归纳法是根据对某类事物部分对象的考察而得出一般性结论的推理形式.运用不完全归纳法可将“观察、实验、猜测、验证”与“推理”有机结合起来.
【例】观察下面的变形规律：
=1-；=-；=-；…
解答下面的问题：
(1)若n为正整数，请你猜想=________.
(2)证明你猜想的结论.
(3)求和：+++…+.
【标准解答】(1)-.
(2)-=-==.
(3)原式=1-+-+-+…+-=1-=.
1.观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n个数是________.
2.已知：=；=；
计算：=________；
猜想：=________.
6.分式运算在生活中的应用
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分式是刻画数量关系的一种重要的数学模型，与我们日常生活有着密切的联系，其应用十分广泛，解决此类问题的关键有两点：
(1)挖掘题意中的数量关系列出分式.(2)根据题意确定运算的类型，最后根据法则进行计算即可.
【例1】甲、乙两地间铁路长2400千米，经技术改造后，列车实现了提速.提速后比提速前速度增加20千米/时，设提速后列车速度为x千米/时，则列车从甲地到乙地行驶时间减少多少小时?
【标准解答】提速后列车速度为x千米/时，则提速前列车从甲地到乙地行驶时间为小时，提速后列车从甲地到乙地行驶时间为小时.-=
2400
=，
所以提速后列车从甲地到乙地行驶时间减少小时.
【例2】某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价，共获利6000元.第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高10%作为销售价，设此商品进价为x元，若要商场第二个月比第一个月多获利400元，则第二个月的销售量必须比第一个月多多少件?
【标准解答】此商品进价为x元，根据题意，得第二个月的销售量为件，第一个月的销售量为件，又-=(件)，所以第二个月的销售量必须比第一个月多件.
【例3】某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
(1)甲队单独完成这项工程要比规定日期少用1天.
(2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用1天.
(3)若甲先做1天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
试问：在不耽误工期的前提下，设规定日期为x天，若采用第三种施工方案时，求甲队1天完成的工作量与乙队(x-1)天完成的工作量的积.
【标准解答】分别用分式表示出甲队1天完成的工作量，乙队(x-1)天完成的工作量，再求出它们的积.由题意可知，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，则甲队1天完成的工作量为，乙队(x-1)天完成的工作量为，
又×=.
所以甲队1天完成的工作量与乙队(x-1)天完成的工作量的积为.
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为了支援灾区，某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，设第一天捐款x人，则第二天人均捐款是第一天人均捐款的多少倍?
7.分式方程
(1)妙用分式方程的增根
解分式方程时，一般要将分式方程变形为整式方程.由于这种变形可能扩大了未知数的取值范围，所以使得方程产生增根，不少同学往往只重视对增根的检验，忽视充分发挥增根的潜在作用.如果能进一步认真分析增根产生的原因，那么在确定有关分式方程字母系数的值时，往往能够巧妙得解.
【例1】若关于x的方程+=2-有增根x=-1，求a的值.
【标准解答】去分母整理得
(a-2)x2+4x+3=0，①
∵已知方程有增根x=-1，
∴把x=-1代入①，
解得a=3，即当a=3时满足题意.
【例2】当m为何值时，关于x的方程+=会产生增根?
【标准解答】去分母得，2(x+2)+mx=3(x-2).
整理得(m-1)x=-10，
当m=1时，方程无解.
当m≠1时，x=.
如果方程产生增根，那么必须有最简公分母(x+2)(x-2)=0，即x=2或x=-2.
(1)当x=2时，2=，解得m=-4；
(2)当x=-2时，-2=，解得m=6.
综上所述，当m=-4或m=6时，原方程会产生增根.
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1.已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是( )
A.m>2 B.m≥2
C.m≥2且m≠3 D.m>2且m≠3
2.关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是( )
A.a=5或a=0 B.a≠0
C.a≠5 D.a≠5且a≠0
3.若关于x的方程-1=0有增根，则a的值为________.
4.若分式方程-=2有增根，则这个增根是________.
(2)分式方程探究题
解决分式方程探究题的三个步骤：
①仔细观察所给的已知条件，根据已知条件寻找规律；
②对所找的规律进行验证；
③写出正确的答案.
【例】先阅读下列一段文字，然后解答问题.
下面是一类方程和它的解的情况：
x-=1的解是x1=2，x2=-；
x-=2的解是x1=3，x2=-；
x-=3的解是x1=4，x2=-；
x-=4的解是x1=5，x2=-；
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程
x-=10的解，并写出检验.
【标准解答】因为1=2-，2=3-，3=4-，4=5-，
而10=11-，
所以由此可以猜想出方程x-=10的解是x1=11，x2=-.
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检验：当x1=11时，x-=11-=10，当x2=-时，x-=--=10，所以x1=11，x2=-都是方程x-=10的解.
阅读下列材料：
关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；
x+=c+的解是x1=c，x2=；
x+=c+的解是x1=c，x2=；…
(1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x+=c+(m≠0)与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.
(2)请用这个结论解关于x的方程：x+=a+.
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跟踪训练答案解析
1.分式的概念及应用
【跟踪训练】
1.【解析】选D.分母中含有字母的式子有4个，它们是，，，.
2.【解析】由分式的值为零的条件得x2-1=0，x+1≠0，由x2-1=0，得x=-1或x=1，
由x+1≠0，得x≠-1，∴x=1.
答案：1
3.【解析】由分式有意义，得3-x≠0，所以x≠3.
答案：≠3
4.【解析】∵x2+1≥1，∴分式的值为负时，只需分子为负数，由此，可得一元一次不等式：2x-1
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