乘法公式
【教材简析】
乘法公式（3）这一节课是在学生学习了完全平方公式和平方差公式的基础上，进一步的运用公式进
行混合运算和化简。一方面，进一步熟悉两个公式；另一方面，在对复杂问题的探索中，进一步体会感受
公式的特点和整体思想在简化计算中的优势，让学生获取数学知识，发展运算能力。
【学情分析】
在前两节课中，学生已经通过观察图像利用等积法和多项式乘多项式法则，探究出两个乘法公式，经
历在“做”中学数学的过程。这些经验将继续服务于这节课，用两个乘法公式解决更复杂的问题。但学生
对于将某个多项式看做一个整体的思想还很陌生。
【 教 学 设 想 】
本 节 课 开 始 ， 先 利 用 六 题 基 本 计 算 帮 学 生 复 习 回 顾 乘 法 公 式 ， 以 及 公 式 的 特 点 。 在 例 题
讲 解 环 节 ， 例 1 三 种 题 型 是 将 旧 知 复 习 里 的 两 题 加 以 变 式 得 到 ， 这 样 在 变 式 的 过 程 中 引 导 学
生 进 一 步 的 熟 悉 平 方 差 公 式 ， 并 且 根 据 平 方 差 公 式 的 特 点 ， 准 确 选 用 公 式 。 在 平 方 差 公 式 和
乘 方 运 算 的 混 合 运 算 中 ， 让 学 生 通 过 归 纳 、 整 理 培 养 整 体 的 意 识 和 混 合 运 算 能 力 。 例 2 是 化
简 求 值 的 问 题 ， 意 图 让 学 生 熟 悉 化 简 求 值 的 步 骤 ， 并 且 经 历 化 简 过 程 进 一 步 熟 悉 公 式 。 第 三
个 环 节 是 拓 展 提 高 ， 两 道 问 题 都 是 对 乘 法 公 式 的 综 合 应 用 ， 问 题 一 旨 在 让 学 生 再 认 识 完 全 平
方 公 式 ，意 识 到 ， ， 之 间 的 关 系 。问 题 二 让 学 生 意 识 到 一 个 方 程 两
个 未 知 数 除 非 是 特 殊 形 式 否 则 求 不 出 结 果 。因此 需 要 把 等 式 的 左 边 分 组 为 两 个 完 全 平 方 的 和 ，
载 利 用 平 方 和 为 零 说 明 每 个 底 数 都 为 0。 这 两 题 的 难 度 较 大 所 以 作 为 最 后 的 提 高 题 。
【教学目标】
1．进一步理解和掌握平方差公式和完全平方公式。
2．利用两个公式解决问题，提高综合运用公式的能力。
3．在应用公式的过程中，感受整体思想。
【教学重难点】
重点：正确熟练地运用乘法公式进行混合运算和化简。
难点：平方差公式和完全平方公式的综合应用，构造“整体”的方法解决问题。
【教学过程】
一、目标导入：
用乘法公式计算：
(1) ； (2) ；
(3) ；(4) ；
(5) ；(6) .
（设计意图：此情境复习了前面所学的完全平方公式以及平方差公式，为引入新知埋下伏笔。）
2( )a b ab− ， 2 2+a b 2+a b（ ）
2( 2 ) _______________x y+ = ( )22 =x y−
( 2 )( 2 ) ___________x y x y+ − = (2 )( 2 ) _____________x y y x− + =
2 2( + ) = 4a a ab+ + ( )( ) 23 2 ______ 4 9x x+ = −二、例题讲解：
例 1、计算：
(1)
变式一： 变式二：
(2)
（设计意图：例题的（1）是将旧知复习里的（3）两题加以变式得到，这样在变式的过程中引导学生进一
步的熟悉平方差公式，并且根据平方差公式的特点，准确选用公式。变式的两个问题，突出深化问题，让
学生更进一步的认识到两个数作差与两个数作和相乘后还是两数差的形式，可以和这两个数的和继续相乘，
从而将计算进行下去。例题的（2）是平方差公式和乘方运算的混合运算，让学生体会到先做乘 方运算，
再用乘法公式具体计算。让学生通过归纳、整理培养归纳与概括的能力，以及整体的意识。)
练一练：
(1) (2)
(3)
提示语：3 项乘 3 项有没有公式能够简便计算？
能不能将其中的两项看成一个整体，看作公式中的 a 或 b？
变式：
(设计意图：此题给学生充分的思维空间，引导学生发现这是个平方差的公式，但是平方差公式里是两项
和与两项差的乘积的平方，而此处是三项的和与差，所以想到构造“整体”法将三项转化为两项的形
式．引导学生正确理解平方差中字母的广泛含义，此处还应鼓励学生算法的多样性．引导学生构造“整体”
法再应用平方差公式解题．变式让学生在练习纠错的过程中熟练而正确地找出谁为公式中的a或b，灵活地
运用公式解题．)
2( 3)( 3)( 9)x x x− + +
2 4( 3)( 3)( 9)( 81)x x x x− + + + (2 1)(4 1)(16 1)(256 1)+ + + +
( ) ( )2 22 3 2 3x x+ −
( )( )2 22 4 (2 )x y x y x y− + + 2 2( 3) ( 3)x x− +
( )4 ( 4)x y x y− − + +
( )( )44 −++− yxyx例 2、化简求值： ，其中 。
(设计意图：让学生进一步的熟悉两个乘法公式的结构特点，并能熟练运用公式解决具体问题，熟悉化简
求值题的一般步骤。)
三、拓展提高
1、已知 ，求：① ； ② 。
2、已知 ,求 和 的值.
（设计意图：这是乘法公式的综合应用，问题一让学生再认识完全平方公式，意识到完全平方公式中共包
括四个量 ， ， ，知道其中两个量就能求出另外两个。问题二让学生学会分组，
并且认识到两个完全平方的和为零说明每个底数都为 0。让学生通过练习，熟练运用公式解决具体问题。）
四、课堂小结：
这节课我的收获是什么，还有什么困惑？
（设计意图：生生互动，锻炼学生的口头表达能力，进一步完善学生的认知结构，加强知识之间的联系，
培养学生反思质疑的习惯。开放性问题，让学生不仅总结知识，更总结方法。培养学生思维的灵活性，探
究性教学，营造民主和谐的课堂气氛，让学生成为课堂的主人。）
五、目标检测：
1、下列可以用平方差公式计算的是 ( )
A、(x－y) (x + y) B、(x－y) (y－x) C、(x－y)(－y + x) D、(x－y)(－x + y)
2、下列各式中，运算结果是 的是 ( )
A、 B、
C、 D、
4、 。
5、计算题
2(2 )( 2 ) ( 3 )a b b a a b+ − − − 11, 2a b= =
5, 3a b ab− = = − 2 2+a b 2+a b（ ）
2 2 2 4 5 0x y x y+ − + + = x y
2( )a b ab− ， 2 2+a b 2+a b（ ）
22 169 ba −
)43)(43( baba −−+− )34)(34( abab −−+−
)34)(34( abab −+ )83)(23( baba −+
2 2
2 2
3 (3 ) ___________________, ( 2 ) ,
( )( ) _________________, ( 2)( 2) ______________
(3 )(3 ) _______________, (2 3)( 2 3) __________.
a b a b
b a b a x x
a b a b x x
− = − + =
+ − = − + =
+ − = − − − =
，
、
2 2 2 2( 2) ( 2)x x− − + = (1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
6、用乘法公式计算：
（1） （2）
7、已知 ,求 ， ， 。
（设计意图：通过七个问题的检测，培养学生养成仔细分析问题，通过练习即时巩固新知，发现问题，让
学生对自己本节课的学习做一个合理的评价，讲评后再由小组内互助纠错。能有效帮助后进生掌握知识，
积累经验，形成能力。）
【教学反思】
一、本节课主要采用“教师引导，学生自主探索与小组合作交流”的教学思路，把探究方法的主动权
交给学生，通过创设丰富的教学环境，激发学生的学习动机，从中体会出整体思想在计算中的广泛使用，
在练习中通过观察，不断体会相同部分与相反部分的区别，进一步的理解乘法公式中的 a 和 b 不仅可以是
一个字母，也可以是一个单项式，更可以是一个多项式。从而达到了培养学生分析问题、解决问题的能力
的目的。
二、在教学过程中，构建民主、平等、和谐的师生关系，形成一个学习共同体，教学中不仅传授知识、
发展学生的运算能力思维能力，还要注重培养学生的情感、态度、价值观及行为规范，让学生在学习中逐
步掌握方法、学会思考。
三、课堂小结由学生自主总结，不仅能帮助学生提纲挈领的盘点整节课的内容，而且能让学生站在一
个更高的层面看待两个公式，以及这两个公式的用途。能够更好的帮助学生完善知识体系，内化公式，体
会数学知识间内在的联系。
( )( )3 3a b a b− − 22 )2()2( abba −++
( )( ) ( )22 2 2x y y x x y− − − − − ( )( ) ( )( )16 4 4x y x y x y x y− − − − + − +
2 2(3 1) (3 1)a a+ − )132)(132( ++−− yxyx
22
3
2
3
199
−
22 3223226782678 +××+
6, 2x y xy+ = = 2( )x y− 2 2+x y 2 2x xy y− +
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