12.2 证明
12.2 证明（1）
教
学
目
标
1．能在观察、实验、操作的基础上，对所作的猜想加以证实；
2．通过积极参与，获得正确的数学推理方法，理解数学的严谨、严密性，并培养与他人合作的意
识．
教
学
重
点
学会判断一个数学结论必须一步一步、有理有据地进行推理并进一步感受说理的必要性．
教
学
难
点
初步学会说理，并发展有条理的思考和表达的能力．
教学过（教师） 学生活动 二次备课
探究活动一
先猜一猜图中的两
条线段 AB 与 CD 哪一条
长一些？
请再量一量证实你
的猜想．
学生观看思考动手操
作并回答．
探究活动二
图（1）中有曲线吗？请把图（2）中编号相同的点
用线段连接起来．
观察、思考、感悟．
D
C
B
A
1 2 3 4 5 6 7 8
8
7
6
5
4
3
2
1
（图 1） （图 2）例题讲解
例 1 有两条如图所示小路，这两条小路哪个长？
这两条小路的面积怎样？
观察、思考、说理．
感受说理的必
要性和重要性，从
而激发学生追求真
理的兴趣和欲望．
例题讲解
例 2 小明和小林在研究代数式 2－2m＋m2 的值的
情况时得出了两种不同的结论．
小明填写表格：
m －2 0 4 6 ……
2－2m＋m2 10 2 10 26 ……
小林填写表格：
请你再取一些 m 的值代入代数式算
一算，说明小明和小林的结论是否正确．你是否有新的
发现？新的结论？
思考：本题中，你用什么方法去说明别人的观点不
正确？你又是怎么说明自己的观点是正确的？
m －6 －4 2 0 ……
2－2m＋m2 50 26 2 2 ……
观察、操作、思考、独
立完成．
让学生通过观
察、操作、猜想、
探究得出结论．
数学实验一
（1）在提供的模板中取两个直角三角形和两个直
角梯形，按图①拼成 8×8 的正方形，用胶带粘好．
（2）用同样的两个直角三角形和两个直角梯形，
学生独立完成，说说
自己的想法．
让学生体会数
学学习的方法．能按图②恰好拼成 13×5 的矩形吗？动手试一试！
请同学们再计算一下图①、图②的面积，你发现了
什么？
数学实验二
如图：（1）画∠AOB＝90°，并画∠AOB 的角平分
线 OC．
（2）将三角尺的直
角顶点落在 OC 的任意一
点 P 上，使三角尺的两条直
角边与∠AOB 的两边分
别交于点 E、F，并比较 PE、
PF 的长度．
（3）把三角尺绕点
P 旋转，比较 PE 与 PF
的长度．
你能得到什么结论？你的结论一定成立吗？与同
学交流．
学生独立完成，说说
自己的想法．
进一步加强说
理的作用，让学生
体会数学学习的方
法．
能力检测
1．你认为大圆内的 10 个小圆的周长之和与另一个
大圆内的 2 个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜
一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想．
学生独立完成，说说自
己的想法．
让学生体会数
学学习的方法．
3
3
3
33
3
5
5
5
5
5
5 5
5
8
8
8
（图①） （图②）课堂作业
《伴你学》检测反馈
学生思考并作题12.2 证明（2）
教
学
目
标
1．了解证明的定义、基本步骤和书写格式．
2．经历证明命题的过程，感受数学的严谨、结论的确定，初步树立言之有理、落笔有据的推理意识，
发展初步的演绎推理能力．
3．感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值．
教
学
重
点
会证明命题，能规范写出证明过程．
教
学
难
点
证明过程中，能做到推理严谨、书写规范．
教学过程（教师） 学生活动 二次备课
情景创设
1．通过上节课的学习，怎么
样说明一个数学问题是正确的？
2．回忆下列 2 个命题的学习
过程，你会说明它们是正确的吗？
（1）同位角相等，两直线平
行．
（2）内错角相等，两直线平
行．
1．回忆上节课，知道要说明一个数学问题是
正确的需要经过说理．
2．回忆两个命题的学习过程，体会到命题
（1）是基本事实，命题（2）是由命题（1）说理
得到的．
新知探索
1．证明的概念．
2000 多年前，古希腊数学家
欧几里得对前人在数学上的成果
进行了系统整理，他把人们公认
的一些真命题作为公理，并以此
作为出发点，用推理的方法证实
了一系列命题，编纂成了人类文
1．阅读关于《原本》的知识，体会欧几里得
几何证明的发展历史，了解证明及定理的概念，
知道 5 个基本事实．
2．尝试证明命题“垂直于同一条直线的两条
直线平行”，感受因、果和由因得果的依据的得
来．
1．通过阅读，让
学生进一步了解数学
史，了解证明及定理
的概念，知道 5 个基
本事实．
2．让学生经历命
题证明的过程，引导
学生体会推理的思考明史上具有里程碑意义的数学巨
著——《原本》．
根据已知的真命题，确定某
个 命 题 真 实 性 的 过 程 叫 做 证
明．经过证明的真命题称为定
理．
基本事实
（1）同位角相等，两直线平
行；
（2）两直线平行，同位角相
等；
（3）两边和它们夹角对应相
等的两个三角形全等；
（4）两角和它们的夹边对应
相等的两个三角形全等；
（5）三边对应相等的两个三
角形全等．
2．证明的步骤．
下面，我们从基本事实出发，
证明“垂直于同一条直线的两条
直线平行”（过程略）．
证 明 过 程 必 须 做 到 言 必 有
据．证明过程通常包含几个推理，
每个推理应包括因、果和由因得
果的依据．
证明与图形有关的命题，一
般有以下的步骤：
（1）根据题意，画出图形；
（2）根据命题的条件、结论，
结合图形，写出已知、求证；
（3）写出证明过程．
方法，在讨论、交流
中发展学生有条理的
表达能力，体会证明
的步骤和书写规范．例题学习
例 1 已知：如图，直线 AB、CD
被直线 EF 所截，AB∥CD，MG 平分
∠EMB，NH 平分∠END．
求证：MG∥NH．
积极思考，尝试证明，同桌间交流书写规程，
进一步体会证明要求．
随堂练习
1．已知：如图，AD∥BC，∠
BAD＝∠DCB．
求证：∠1＝∠3．
2．已知：A、O、B 在一直线
上，OM 平分∠ AOC，ON 平分∠
BOC．
求证：OM⊥ON．
认真完成两条练习题． 及时巩固证明的
要求，初步树立言必
有理，落笔有据的推
理意识．
课堂作业：
《伴你学》检测反馈
学生独立完成
A B
C D
E
F
M
N
H
G12.2 证明（3）
教学目标
1．进一步了解证明的基本步骤和书写格式；
2．会证明三角形内角和定理以及推论，并能简单运用；
3．继续感受数学的严谨性和数学结论的确定性，在交流中发展有条理思考和表达的能力，树立
言之有理、落笔有据的推理意识．
教学重点 会证明三角形内角和定理及其推论，并能简单运用．
教学难点 添加辅助线和有条理的表述．
教学过程（教师） 学生活动 二次备课
一、方法引领
证明：两直线平行，同旁内角互补．
（1）证明命题的基本步骤是什么？
（2）在这个命题的证明过程中运用了哪些知识？
观察、思考、回答、感悟．
问题：三角形有三条边、三个内角，它们有怎
样的数量关系呢？
观察、思考、回答． 通 过 图
像变化，得出
三角形，自然
过 渡 到 本 节
课 将 要 学 习
的内容．
二、自主构建
1．证明：三角形三个内角的和等于 180°．
问题 1：这个命题的条件和结论是什么？请你
结合图形，说出已知，求证；
问题 2：由 180 °你想到什么？怎样将∠A、∠
B、∠C 搬在一起？
问题 1 的学生活动：
1．回忆旧知．
2．观察、思考、回答．
问题 2 的学生活动：
1.独立思考．围绕问题 2 思考证明
方法，把想法画到学案纸上．
2．小组合作．把各自的方法在小
组内交流、探讨．
3．小组汇报．学生每个小组内推
A
CB选一名代表汇报，相互补充．
4．有条理表述．学生选择合适的
方法书写证明过程，并展示讲解．
2．议一议．
如图 1：∠ACD 是△ABC 的一个外角，那么它
与不相邻的两个内角∠A、∠B 之间有怎样的数量
关系？为什么？
结论： ．
观察、思考、说理． 让 学 生
从 不 同 角 度
去 证 明 三 角
形 内 角 和 定
理的推论，既
巩固了新知，
同 时 也 让 学
生 感 受 到 证
明方法、角度
的多样性，从
而 进 一 步 发
展 学 生 有 条
理的思考、表
达的能力．
三、互动体验
已知：如图 2，AC、BD 相交于点 O ．
求证：∠A＋∠B＝∠C＋∠D．
请结合以下三个问题思考：
（1）由条件你想到什么？
（2）由结论你想到什么？
（3）结合图形你想到什么？
学 生 独 立 完 成 ， 说 说 自 己 的 想
法．
教学中，
要 关 注 学 生
能 否 形 式 化
的表达，同时
更 要 关 注 发
展 学 生 合 符
逻 辑 的 思 考
和 有 条 理 的
表达的能力，
鼓 励 学 生 主
动 的 表 达 和
交流．设计三
个 问 题 的 目
的 在 于 引 导
A
B C D
图 1
A
O
C
D
B
图 2学 生 学 会 思
考 问 题 和 解
决问题，教给
学 生 分 析 问
题的思路、方
法．
四、能力提升
已知：如图 3，AD 是△ABC 的角平分线，E 是
BC 延长线上一点，∠B＝∠EAC ．
求证：∠ADE ＝∠DAE ．
学生独立完成，说说自己的想法，
然后书写证明过程，最后展示交流．
进 一 步
引 导 学 生 从
已 知 条 件 出
发 向 结 论 探
索，也可引导
学 生 从 结 论
出 发 向 已 知
条件探索，或
者 从 已 知 条
件 出 发 和 结
论 两 个 方 向
互相逼近，从
而 进 一 步 提
高 学 生 分 析
问 题 和 解 决
问题的能力，
巩 固 本 节 课
所学知识、方
A
B ECD
图 3法．
五、课堂作业
《伴你学》检测反馈
学生独立完成
微信/支付宝扫码支付