第二十章 数据的分析
1.数据的代表
数据的收集中的三个重要概念是平均数、中位数和众数,其中平均数又有算术平均数和加权平均数;中位数的确定与数据的个数的奇偶有关,当数据的个数为奇数时,将数据按大小顺序排列后,位于中间位置的数据为中位数,当数据的个数是偶数时,将数据按大小顺序排列后,中间两个数的平均数为中位数;众数为一组数据中出现次数最多的数,有时是一个,也可以是多个.
【例1】一组数据1,2,a的平均数为2,另一组数据-1,a,1,2,b的唯一众数为-1,则数据-1,a,1,2,b的中位数为 .
【标准解答】∵一组数据1,2,a的平均数为2,
∴1+2+a=3×2,解得a=3,
∵数据-1,a,1,2,b的唯一众数为-1,
∴b=-1.
∴数据-1,3,1,2,-1的中位数为 1.
答案:1
1.近年来,我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为进一步普及环保和健康知识,我市某校举行了“建设宜居成都,关注环境保护”的知识竞赛,某班的学生成绩统计如下:
成绩(分)
60
70
80
90
100
人数
4
8
12
11
5
则该班学生成绩的众数和中位数分别是 ( )
A.70分,80分 B.80分,80分
C.90分,80分 D.80分,90分
2.一组数据1,4,6,x的中位数和平均数相等,则x的值是 .
【例2】小明对所在班级的“小书库”进行了分类统计,并制作了如下的统计图表:
类别
语文
数学
英语
物理
化学
其他
数量(册)
22
20
18
a
12
14
频率
0.14
根据上述信息,完成下列问题:
11
(1)图书总册数是 册,a= 册.
(2)请将条形图补充完整.
(3)数据22,20,18,a,12,14中的众数是 ,极差是 .
(4)小明从这些书中任意拿一册来阅读,求他恰好拿到数学或英语书的概率.
【标准解答】(1)总本数=14÷0.14=100册,
a=100-22-20-18-12-14=14.
答案:100 14
(2)如图:
(3)数据22,20,18,a,12,14中a=14,
所以众数是 14,极差是22-12=10.
答案:14 10
(4)(20+18)÷100=0.38,即恰好拿到数学或英语书的概率为0.38.
1.在市委宣传部举办的以“弘扬社会主义核心价值观”为主题的演讲比赛中,其中9位参赛选手的成绩如下:9.3;9.5;8.9;9.3;9.5;9.5;9.7;9.4;9.5,这组数据的众数是 .
11
2.如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速(单位:千米/时)情况.
(1)计算这些车的平均速度.
(2)车速的众数是多少?
(3)车速的中位数是多少?
2.运用统计思想决策或评价实际问题
在生产、生活中,我们决策或评价某个问题时,要根据某些数据进行认真科学地分析.如商品经销商对畅销货物的进货选择往往借助“众数”,运用反映一组数据离散程度的指标极差、方差、标准差来判断某人的成绩是否稳定,也可以用来分析植物生长的情况等.通过计算平均数、方差来判断数据的集中或离散程度,从而对现实生活中的实例进行分析和判断,并做出评价或提出建议.注意评价要客观、合理,建议要符合实际.同时这部分知识还可以与方程、不等式等知识结合,出现一些综合题.解决这类题必须弄清基本概念,掌握一些典型题的解法,灵活运用题中的数据和信息,明确解题目标.
【例】甲、乙两学校都选派相同人数的学生参加数学竞赛,比赛结束后,发现每名参赛学生的成绩都是70分、80分、90分、100分这四种成绩中的一种,并且甲、乙两校的学生获得100分的人数也相等.根据甲学校学生成绩的条形统计图和乙学校学生成绩的扇形统计图回答下列问题.
11
(1)求甲学校学生获得100分的人数.
(2)分别求出甲、乙两学校学生这次数学竞赛所得分数的中位数和平均数,以此比较哪个学校的学生这次数学竞赛成绩更好些.
【标准解答】(1)设甲学校学生获得100分的人数为x,
由于甲、乙两学校参加数学竞赛的学生人数相等,且获得100分的人数也相等,
则由甲、乙学校学生成绩的统计图得
=,得x=2,
所以甲学校学生获得100分的人数为2人.
(2)由(1)可知:甲学校的学生得分与相应人数为:
分数
70
80
90
100
人数
2
3
5
2
乙学校的学生得分与相应人数为:
分数
70
80
90
100
人数
3
4
3
2
从而甲学校的学生分数的中位数为90分,
甲学校的学生分数的平均数为:==分,
乙学校的学生分数的中位数为80分,乙学校的学生分数的平均数为:===分,
由于甲学校的学生分数的中位数和平均数都大于乙学校的学生分数的中位数和平均数,所以甲学校学生的数学竞赛成绩较好.
11
1.我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我荆门”知识竞赛,计分采用10分制,选手得分均为整数,成绩达到6分或6分以上为合格,达到9分或10分为优秀.这次竞赛后,七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下,其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a,b.
队别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
七年级
6.7
m
3.41
90%
n
八年级
7.1
7.5
1.69
80%
10%
(1)请依据图表中的数据,求a,b的值.
(2)直接写出表中的m,n的值.
(3)有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级,所以七年级队成绩比八年级队好,但也有人说八年级队成绩比七年级队好.请你给出两条支持八年级队成绩好的理由.
2.在“爱满扬州”慈善一日捐活动中,学校团总支为了了解本校学生的捐款情况,随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计,并绘制成下面的统计图.
(1)这50名同学捐款的众数为 元,中位数为 元.
(2)求这50名同学捐款的平均数.
(3)该校共有600名学生参与捐款,请估计该校学生的捐款总数.
11
3.数据的离散程度
对数据的离散程度的理解应注意数据的离散程度,即数据的波动范围;要看一组数据的离散程度,可绘制这组数据的折线统计图帮助分析;数据的离散程度越大,表示数据越不稳定,平均数的代表性越小;数据的离散程度越小,表示数据的波动范围越小,平均数的代表性越大 .
【例1】如图是小强同学根据乐山城区某天上午和下午四个整时点的气温绘制成的折线图.请你回答:该天上午和下午的气温哪个更稳定?
答: ;
理由是 .
【标准解答】=(18+19+21+22)÷4=20,
=(22.5+20+19+18.5)÷4=20,
=[(18-20)2+(19-20)2+(21-20)2+(22-20)2]÷4
=2.5,
=[(22.5-20)2+(20-20)2+(19-20)2+(18.5-20)2]÷4
=2.375,
∵>,
∴下午的气温更稳定.
答案:下午 因为上午的方差大于下午的方差
【例2】多多班长统计去年1~8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位:本),绘制了如图折线统计图,下列说法正确的是 ( )
11
A.最大值与最小值的差是47
B.众数是42
C.中位数是58
D.每月阅读数量超过40的有4个月
【标准解答】选C.A.最大值与最小值的差为:83-28=55,故本选项错误;B.众数为:58,故本选项错误;C.中位数为:(58+58)÷2=58,故本选项正确;D.每月阅读数量超过40本的有2月,3月,4月,5月,7月,8月,共六个月,故本选项错误.
1.甲、乙两名同学进入初四后,某科6次考试成绩如图所示:
(1)请根据下图填写下表:
平均数
方差
中位数
众数
极差
甲
75
75
乙
33.3
15
(2)请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析:
11
①从平均数和方差相结合看.
②从折线图上两名同学分数的走势上看.
2.在学校组织的社会实践活动中,甲、乙两人参加了射击比赛,每人射击七次,命中的环数如表:
序号
一
二
三
四
五
六
七
甲命中的
环数(环)
7
8
8
6
9
8
10
乙命中的
环数(环)
5
10
6
7
8
10
10
根据以上信息,解决以下问题:
(1)写出甲、乙两人命中环数的众数.
(2)已知通过计算器求得=8,≈1.43,试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定?
4.“方差、标准差”的特点
(1)方差、标准差都是反映数据离散程度的量,它们越小,说明数据越稳定.
(2)方差和标准差反映一组数据偏离平均值的大小.
(3)计算标准差比计算方差要复杂,因为需要多一次开方,但标准差的单位与原数据的单位一致.
【例】在某中学举行的演讲比赛中,初一年级5名参赛选手的成绩如下表所示,你根据表中提供的数据,计算出这5名选手成绩的方差 ( )
选手
1号
2号
3号
4号
5号
平均
成绩
得分
90
95
■
89
88
91
A.2 B.6.8 C.34 D.93
【标准解答】选B.3号选手的成绩为91×5-(90+95+89+88)=93,
∴s2=[(90-91)2+(95-91)2+(93-91)2+(89-91)2+(88-91)2]=6.8.
1.我市射击队为了从甲、乙两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛,组织了选拔测试,两人分别进行了五次射击,成绩(单位:环)如下:
11
甲
10
9
8
9
9
乙
10
8
9
8
10
则应选择 运动员参加省运动会比赛.
2.某工程队有14名员工,他们的工种及相应每人每月工资如下表所示.
工种
人数
每人每月工资(元)
电工
5
7 000
木工
4
6 000
瓦工
5
5 000
现该工程队进行了人员调整:减少木工2名,增加电工、瓦工各1名.与调整前相比,该工程队员工月工资的方差 (填“变小”“不变”或“变大”).
答案解析：
1.数据的代表
【跟踪训练】
1.【解析】选B.在40个数据中,出现了12个80分,即众数为80分;把这40个数据从小到大排列,第20,21个数据为80分、80分,所以中位数为80分.
2.【解析】根据题意得,=或=或=,解得x=-1或3或9.
答案:-1或3或9
【跟踪训练】
1.【解析】这组数据中出现次数最多的数为9.5,即众数为9.5.
答案:9.5
2.【解析】(1)这些车辆的平均速度为
=60千米/时.
(2)车速的众数是70.
(3)车速的中位数是60.
11
2.运用统计思想决策或评价实际问题
【跟踪训练】
1.【解析】(1)根据题意得:a=5,b=1.
(2)七年级成绩为3,6,6,6,6,6,7,8,9,10,
中位数为6,即m=6;
优秀率为==20%,即n=20%.
(3)八年级队平均分高于七年级队,方差小于七年级队,成绩比较稳定,故八年级队比七年级队成绩好.
2.【解析】(1)数据15元出现了20次,出现次数最多,所以众数是15元.
数据总数为50,所以中位数是第25,26位数的平均数,即(15+15)÷2=15(元).
答案:15 15
(2)50名同学捐款的平均数=(5×8+10×14+15×20+20×6+25×2)÷50=13(元).
(3)估计这个学校的捐款总数=600×13=7 800(元).
3.数据的离散程度
【跟踪训练】
1.【解析】(1)
平均数
方差
中位数
众数
极差
甲
75
125
75
75
35
乙
75
33.3
72.5
70
15
(2)①从平均数和方差相结合看:甲乙两名同学的平均数相同,但甲成绩的方差为125,乙同学成绩的方差为33.3,因此乙同学的成绩更为稳定;
②从折线图中甲、乙两名同学的走势上看,乙同学的6次成绩有时进步,有时退步,而甲的成绩一直是进步的.
2.【解析】(1)由题意可知:甲的众数为8,乙的众数为10.
(2)==8,
乙的方差为:=[(5-8)2+(10-8)2+…+(10-8)2]=≈3.71.
11
∵=8,≈1.43,
∴甲乙的平均成绩一样,而甲的方差小于乙的方差,
∴甲的成绩更稳定.
4.“方差、标准差”的特点
【跟踪训练】
1.【解析】甲的平均数是:=(10+9+8+9+9)=9,
乙的平均数是:=(10+8+9+8+10)=9,
甲的方差是:=[(10-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=0.4;
乙的方差是:=[(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(10-9)2]=0.8;
∵
微信/支付宝扫码支付