第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质
第2课时 相似三角形中的周长和面积之比
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 如图4－7－29，在比例尺为1∶500的地图上，测得一个三角形地块的周长为12 cm，面积为6 cm2，求这个地块的实际周长及面积．
图4－7－29
问题1 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1∶500表示什么含义？
问题2 要解决这个问题，需要什么知识？
问题3 你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？
问题4 如何说明你的猜想是否正确呢？
[说明与建议] 说明：学生们在一个开放的环境中思考生活中遇到的实际问题，亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程．建议：小组交流、总结，学生可能会得到周长之比等于比例尺，面积之比等于比例尺的平方的猜想，通过小组合作，初步验证猜想，引出新知．
复习导入 复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质)：
①如果＝，那么＝____，＝____；
②如果＝＝＝，那么＝____；
③在四边形ABCD和四边形EFGH中，已知＝＝＝＝，四边形ABCD的周长是60 cm，求四边形EFGH的周长．
[说明与建议] 说明：通过复习比例的性质，尤其是等比性质，让学生感受多边形的周长比与相似比的关系．引导学生思考问题，自然地过渡到新课的学习上来．建议：重点是让学生动手、动脑，探究相似形周长之比与相似比之间的关系．
悬念激趣 某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：马路旁边原
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有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿化地被削去了一个角，变成了一个梯形，如图4－7－30，原绿化地一边AB的长由原来的20米缩短成12米．则被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
图4－7－30
[说明与建议] 说明：联系生活实际，提出问题，引发学生探究的积极性，设置悬念，从而激发学生的求知欲．通过思考，让学生带着问题学习新课，同时教师引出新课．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第110页例2
如图4－7－31，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距离．
图4－7－31
【模型建立】
根据相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可以解决图形中的周长与面积问题，简化计算与证明过程．对学生的要求是能准确找出相似的两个三角形，再利用性质求解．
【变式变形】
1．如图4－7－32，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长．
图4－7－32
[答案：BC＝20 cm，AC＝25 cm，A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm]
2．如图4－7－33，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
图4－7－33
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[答案：△DEF的周长为12，面积为12]
3．如图4－7－34所示，在ABCD中，AE∶EB＝1∶2，且S△AEF＝6 cm2.
(1)求△AEF与△CDF的周长比；
(2)求△CDF的面积．
图4－7－34
[答案：(1)1∶3 (2)54 cm2]
4．如图4－7－35，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E.若AB＝10，BC＝6，DE＝2，求四边形DEBC的面积．
图4－7－35
[答案：]
素材三 考情考向分析
[命题角度1] 利用相似三角形的性质求周长比
相似三角形的周长比等于相似比，有了边长的关系，就可以求出周长比．
例 [湘西中考] 如图4－7－36，在ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长比是(A)
图4－7－36
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
[命题角度2] 利用相似三角形的性质求面积比
灵活运用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解题．
例 [南京中考] 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积比为(C)
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1
[命题角度3] 利用相似三角形的性质求相似比
相似三角形的面积之比等于相似比的平方．反过来，当已知两个相似三角形面积之间的关系时，也可以求出相似比．
例 [滨州中考] 如图4－7－37，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则的值是多少？
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图4－7－37
[答案：]
素材四 教材习题答案
P110随堂练习
判断正误：
(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；( )
(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍．( )
[答案] (1)√ (2)×
P110习题4.12
1．如图，在方格纸上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？如果相似，△A1B1C1与△A2B2C2的周长比和面积比分别是多少？
解：相似，周长比为2∶1 ；面积比为4∶1.
2．如图，在△ABC和△DEF中，G，H分别是边BC和EF的中点，已知AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.
(1)中线AG与DH的比是多少？
(2)△ABC与△DEF的面积比是多少？
解：(1)2∶1 (2)4∶1.
3．如图，Rt△ABC∽Rt△EFG，EF＝2AB，BD和FH分别是它们的中线，△BDC与△FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比．
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解：相似；周长比为1∶2，面积比为1∶4.
4．一块三角形土地的一边长为120 m，在地图上量得它的对应边长为0.06 m，这边上的高为0.04 m，求这块地的实际面积．
解：4800 m2.
5．小明同学把一幅矩形图放大欣赏，经测量其中一条边由10 cm变成了40 cm，那么这次放大的比例是多少？ 这幅画的面积发生了怎样的变化？
解：放大的比例是1∶4，这幅画的面积变为原来的16倍．
6．一个小风筝与一个大风筝形状相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知它们的对应边之比为1∶3，小风筝两条对角线的长分别为12 cm和14 cm.
(1)小风筝的面积是多少？
(2)如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需要多长的材料？(不计损耗)
(3)大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸(如图中虚线所示)裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？
解：(1) 设AC和BD的交点是O，
风筝面积＝△ABD的面积＋△BCD的面积＝ × BD×AO ＋ ×BD×CO＝×BD×(AO＋CO)＝ ×BD×AC＝×12×14＝84(cm2)．
(2) 3× (AC＋BD)＝3×(12＋14)＝78(cm)．
(3) 彩纸面积＝12×14×3×3，容易看出裁下的面积是彩纸的一半，
故废弃部分面积＝3×3×12×14×＝756(cm2)．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE∥BC.
(1)若AD∶DB＝1∶1，则S△ADE∶S四边形DBCE等于多少？
(2)若S△ADE＝S四边形DBCE，则DE∶BC，AD∶DB各等于多少？
解：(1)1∶3.
(2)DE∶BC＝1∶，AD∶DB＝1∶(－1)．
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素材五 图书增值练习
专题一 相似三角形性质的综合运用
1．已知两个相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560 cm，求它们的周长．
2．如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2．
（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知Rt△ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，求Rt△DEF的周长与面积．
3．如图所示，已知平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，BE∶AB＝2∶3，S△BEF＝4，求S△CDF．
专题二 相似多边形的性质
4．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AB∶AD等于 ．
5．已知两个相似多边形的周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大多边形的面积是 ．
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．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD＝4，BC＝9，求AE∶EB．
【知识要点】
1．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相似比．
2．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【温馨提示】
1．应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边．
2．不要误认为相似三角形面积的比等于相似比．
3．由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种情况：
（1）两个图形是否相似，若是相似图形，则面积比等于相似比的平方；
（2）两个图形不相似时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积比等于对应底的比．
【方法技巧】
1．利用相似三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据．
2．等底等高的两三角形面积相等，这个规律在求三角形面积中经常用到．
3．应用相似三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相似的判定相结合．
4．相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据，也是多边形相似的重要性质．
参考答案：
1．解：设一个三角形周长为C cm，
则另一个三角形周长为（C＋560）cm，
则C∶（C＋560）＝3∶10，∴C＝240，C＋560＝800，即它们的周长分别为240 cm，800 cm．
2．解：（1）由相似变换可得：DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；
（2）∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF：S△ABC＝4∶9．
∵直角三角形ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，
∴△DEF的周长为8 cm，S△DEF＝ cm2．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，
∴△BEF∽△CDF．∵AB＝DC，BE∶AB＝2∶3，
∴BE∶DC＝2∶3，∴S△DCF＝（）2•S△BEF＝×4＝9．
4． [解析] ∵矩形ABCD∽矩形BFEA，
∴AB∶BF＝AD∶AB，∴AD•BF＝AB•AB．
又∵BF＝AD，∴AD2＝AB2，则＝＝．
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5．20 [解析] 根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积．设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x．
根据题意得：x＋4x＝25，
解得x＝5．因而较大多边形的面积20．
6．解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，∴＝＝．
又∵AD＝4，BC＝9，∴EF2＝AD•BC＝4×9＝36．
∵EF＞0，∴EF＝6，∴＝＝，即＝．
【知识要点】
1.几种特殊四边形的性质和判定：
（1）特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质，需要注重各自图形的特殊性质.（2）判别菱形：①说明是平行四边形+邻边相等; ②说明是平行四边形+对角线垂直；③四条边相等。判定矩形：①说明是平行四边形+90°角；②说明是平行四边形+对角线相等；③有三个90°角。 判定正方形: ①说明是菱形+90°角；②说明是矩形+邻边相等; ③两条对角线互相平分垂直且相等的四边形.
2.几种特殊四边形的面积问题：（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=．（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=．（4）设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=．
【温馨提示】
（1）矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再证明一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题.
（2）在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，通常是在某一个直角三角形中运用勾股定理及有关直角三角形的知识来解决．正方形的性质很多，要根据题目的已知条件，选择最恰当的方法，使解题思路简捷．
【方法技巧】
面积法是解决有关平行四边形、矩形、菱形、正方形的推理与计算问题常用的方法，因此，熟悉它们的面积的计算方法是十分必要的．
【答案】
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1. 15°或75°【解析】如下左图，当点E在正方形ABCD外时，在△ADE中，AD=DE，
∠ADE=90°+60°=150°，所以∠AED=；如下右图，当点E在正方
形ABCD内时，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=90°－60°=30°，所以∠AED
=.
2. C 【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC．∵∠C=90°，∠B=60°，∴AB＝2BC，AE＝BE＝BC．又∠C＝90°，∴AC＜AB，DC＜BE．如图(1)，把△ADE绕点E旋转180°，使AE与BE重合，由题意可得∠C＝∠D＝∠F＝90°，则四边形BCDF是矩形，且CD＜BC，所以构成邻边不等的矩形，则①成立．如图(2)，把△ADE绕点D旋转180°，使AD与CD重合，由题意可得BC＝BE＝EM＝MC，则四边形BCME是菱形，且∠B＝60°为锐角，则③成立．如图(3)，移动△ADE，使A与D重合，D与C重合，点E在BC的延长线上，由题意可知DE∥BN，且DE≠BN，所以四边形BNDE是梯形，又DN＝BE，所以梯形BNDE是等腰梯形，则②成立．因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则④不成立．
3. 或 【解析】第一种情况，如左图，AB=BF=a，则CF=CH=1﹣a，DH=a﹣
（1﹣a）=2a﹣1，四边形EGNM和四边形MNHD都是正方形，所以2DH=CF，即
2（2a﹣1）=1﹣a，解得a=． 第二种情况，如右图，AB=BF=a，则CF=CH=1﹣a，
四边形CFGH、四边形HGMN、四边形DEMN都是正方形，因此AB=3CH，即a=
3（1﹣a），解得．
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4. 11＋6 【解析】 如图，分割成四个小等腰梯形，则AE＝＝2，过E作
EM⊥AB于M,GN⊥AB于N，由∠A＝45°，EM⊥AB得AM＝,
同理可得HN＝,
又AM＋MN＋NH＋BH＝AB＝6，BH＝EG＝MN，
∴AN＝NB＝3，AH＝3＋,
故大正方形的面积为（3＋）2＝11＋6．
素材六 数学素养提升
《生活中的“立体相似”》
生活中的“立体相似”有两种：一是立体图形相似，二是通过立体空间来寻找相似平面或线段，再利用相似的性质解决实际问题．
问题1：暑假，妈妈叫小颖到市场买一种“竹节鱼”，小颖发现，条条鱼都长得非常相似，但有两种不同的价格：鱼A长10cm的10元/条，鱼B长13cm的每条15元．你帮小颖算算，买哪种鱼合算？
分析：这里要用到“立体相似”的知识，但没有学过．我们只有用数学的类比方法，有面积比等于相似比的平方，可得到体积比是相似比的立方．
因此，B对A的相似比是13∶10，则体积比就是2197∶1000≈2.197
而B对A的价格比是15∶10=1.5﹤2.197，显然买鱼B合算．
把相似概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把他们叫做相似体．他们的一切性质可以类比．
问题2：某同学座位到黑板的距离是5米，老师在黑板上写字，究竟要写多大，才能使该同学望去时，与他看课桌上相距30cm的课本（课本字高0.4cm，宽0.35cm）感觉相同（即视觉相同）？
分析：这个问题虽然不是相似体，但也可以看成生活中的“立体相似”，转化成平面图形的相似．
假设老师在黑板上写字x平方厘米，要使视觉相同，有
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解得X≈39平方厘米
或者假设老师在黑板上写的字高a、宽b，
有，，解得a≈6.7cm ，b≈5.8cm
所以，老师应写高约7厘米、宽6厘米的字．
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