专题限时集训(九) 立体几何
(对应学生用书第99页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1．(广西柳州2017届高三上学期10月模拟)已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2,3,4，则该长方体的外接球的表面积等于________．
29π [长方体的外接球的直径等于＝，所以外接球的表面积等于4πR2＝()2π＝29π.]
2．(江苏省镇江市丹阳高中2017届高三下学期期中)已知一个圆锥的底面面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为________．
π [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则解得r＝，l＝2，
所以高h＝＝，
所以V＝πr2h＝π×2×＝π.]
3．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．
①若α∥β，m⊂α，则m∥β；
②若m∥α，n⊂α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；
④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.
①④ [由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：
在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．]
4．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是________cm.
【导学号：56394064】
[设该铁球的半径为r，
∵底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥实心铁器，
∴锥体的母线、半径、高构成直角三角形，∴h＝＝4，
锥体体积V＝×π×32×4＝12π，
圆球体积＝锥体体积V＝πr3＝12π，
解得r＝.]
5．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为________．
[如图，正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，PA＝，
设正四棱锥的高为PO，连接AO，则AO＝AC＝.
在直角三角形POA中，PO＝＝＝1.
所以VP－ABCD＝·SABCD·PO＝×4×1＝.]
6．(广东汕头2017届高三上学期期末)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为2，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于________．
20π [由题意知三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，∠ACB＝90°，设D，D1分别是AB，A1B1的中点，O是DD1中点，可证O就是三棱柱外接球球心，S△ABC＝×2×1×sin 60°＝，V＝S△ABC·h＝×DD1＝2，即DD1＝4，OA＝＝＝，所以S＝4π×OA2＝4π×()2＝20π.]
7．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2，则该直四棱柱的侧面积为________．
16 [如图所示，
直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，
侧面对角线的长为2，
∴侧棱长为CC1＝＝2，
∴该直四棱柱的侧面积为S＝4×2×2＝16.]
8．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为________．
[由题意得：πrl：＝2π⇒l＝2h⇒母线与轴的夹角为.]
9．(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)若正四棱锥的底面边长为2(单位：cm)，侧面积为8(单位：cm2)，则它的体积为________(单位：cm3)．
[设四棱锥为P－ABCD，底面ABCD的中心为O，取CD中点E，连接PE，OE.
则PE⊥CD.OE＝BC＝1.
∵S侧面＝4S△PCD＝4××CD×PE＝8，∴PE＝2.
∴PO＝，
∴正四棱锥体积V＝×22×＝.]
10．(山东枣庄2017届高三上学期期末)《 九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图9－15，在堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC－A1B1C1的体积为________．
图9－15
2 [由阳马的定义知，VB－A1ACC1＝×A1A×AC×BC＝AC×BC≤(AC2＋BC2)＝AB2＝，当且仅当AC＝BC＝时等号成立，所以当阳马B－A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC－A1B1C1的体积为×××2＝2.]
11．(湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考)圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为L2，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是________.
【导学号：56394065】
[由题意得轴截面的顶角θ不小于，因为sin＝≥sin＝，所以≤
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