专题限时集训(十) 平面解析几何
(对应学生用书第103页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1．(广东省汕头市2017届高三上学期期末)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝________.
【导学号：56394076】
－ [由题意，知圆心为(1,4)，则有＝1，解得a＝－.]
2．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)若直线x＋ay－2＝0与以A(3,1)，B(1,2)为端点的线段没有公共点，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪ [直线x＋ay－2＝0过定点C(2,0)，所以－∈(kCB，kCA)＝(－2,1)⇒a∈(－∞，－1)∪.]
3．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图10－13所示，“海宝”从圆心T出发，先沿北偏西
图10－13
θ方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B，C都在圆T上，则在以线段BC中点为坐标原点O，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向的直角坐标系中，圆T的标准方程为________．
x2＋(y－9)2＝225 [TB2＝TA2＋AB2－2TA·ABcos A＝169＋196－2×13×14×＝225，OT＝14－13×cos θ＝9，∴圆T方程为x2＋(y－9)2＝225.]
4．(江苏省南京市2017届高考三模)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x＋a＋1)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30°，则a的取值范围为________．
[由题意，圆M：(x＋a＋1)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)，圆心为M(－a－1,2a)，
从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP＝1.
∵圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30°，
∴|OM|≤2，
∴(a＋1)2＋4a2≤4，
∴－1≤a≤.]
5．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直线l：mx＋y－2m－1＝0，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m＝________.
－1 [由C：x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
∴圆心坐标是C(1,2)，半径是，
∵直线l：mx＋y－2m－1＝0过定点P(2,1)，且在圆内，
∴当l⊥PC时，直线l被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长最短，
∴－m·＝－1，∴m＝－1.]
6．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为________．
[－，＋] [在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，如图所示，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．
由可得B(－，1)或(，1)，
由可得C(1，)或(1，－)，
解得BCmin＝＝－.
BCmax＝＝＋.]
7．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
3 [∵直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0的斜率乘积为k×＝－1(k＝0时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M(0,2)，N(2,0)．
∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且kMN＝－1，可得MN与直线x－y
－4＝0垂直．
∴点M到直线x－y－4＝0的距离d＝＝3为最大值．]
8．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直线2x－y＝0为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．
[根据题意，双曲线的方程为：－＝1(a＞0，b＞0)，
其渐近线方程为：y＝±x，
又由其一条渐近线的方程为：2x－y＝0，即y＝x，则有＝，
则其离心率e2＝＝＝1＋＝，则有e＝.]
9．(河北省唐山市2017届高三年级期末)设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________．
【导学号：56394077】
＋＝1 [由题意，知|AF2|＝|BF2|＝|AB|＝|AF1|＋|BF2|， ①
又由椭圆的定义知，|AF2|＋|AF1|＝|BF2|＋|BF1|＝2a， ②
联立①②，解得|AF2|＝|BF2|＝|AB|＝a，|AF1|＝|BF1|＝a，所以S△F2AB＝|AB||AF2|sin 60°＝4，所以a＝3，|F1F2|＝|AB|＝2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝6，所以椭圆C的方程为＋＝1.]
10．(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，其渐近线与圆x2＋y2－6y＋m＝0相切，则m＝________.
8 [∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，
∴c＝3a，∴b＝2a，取双曲线的渐近线y＝2x.
∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与x2＋y2－6y＋m＝0相切，
∴圆心(0,3)到渐近线的距离d＝r，
∴＝，∴m＝8.]
11．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则三角形F1PF2的面积为________
[S△F1PF2＝＝＝.]
12．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为________．
6 [∵抛物线方程为y2＝6x，
∴焦点F(1.5,0)，准线l方程为x＝－1.5，
∵直线AF的斜率为－，
直线AF的方程为y＝－(x－1.5)，
当x＝－1.5时，y＝3，
由可得A点坐标为(－1.5,3)，
∵PA⊥l，A为垂足，
∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为(4.5,3)，
∴|PF|＝|PA|＝4.5－(－1.5)＝6.]
13．(广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为________．
[设椭圆的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，
由x＝－c，代入椭圆方程可得y＝±，可设A，C(x，y)，S△ABC＝3S△BCF2，
可得＝2，即有＝2(x－c，y)，即2c＝2x－2c，－＝2y，
可得x＝2c，y＝－，代入椭圆方程可得，＋＝1，
由e＝，b2＝a2－c2，即有4e2＋＝1，解得e＝.]
14．(四川省2016年普通高考适应性测试)如图10－14，A1，A2为椭圆
图10－14
＋＝1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2＋|OT|2＝________.
14 [设Q(x，y)，T(x1，y1)，S(x2，y2)，QA1，QA2斜率为k1，k2，则OT，OS斜率为k1，k2，且k1k2＝·＝＝－，
所以OT2＝x＋y＝x＋kx＝，同理OS2＝，因此|OT|2＋|OS|2＝＋＝＋＝＋＝＝14.]
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【导学号：56394078】
[解] (1)设圆心C(a,0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C：x2＋y2＝4. 6分
(2)存在．当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 8分
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4,0)时，x轴平分∠ANB. 14分
16．(本小题满分14分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图10－15，
图10－15
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．
(1)若点C的坐标为，求a，b的值；
(2)设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率．
[解] (1)由题意可知：椭圆的离心率e＝＝＝，则＝，①
由点C在椭圆上，将代入椭圆方程，＋＝1，②
解得：a2＝9，b2＝5，
∴a＝3，b＝， 6分
(2)法一：由(1)可知：＝，则椭圆方程：5x2＋9y2＝5a2，
设直线OC的方程为x＝my(m＞0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，
消去x整理得5m2y2＋9y2＝5a2，
∴y2＝，由y2＞0，则y2＝，
由＝，则AB∥OC，设直线AB的方程为x＝my－a，
由整理得(5m2＋9)y2－10amy＝0，
由y1＞0得y1＝， 10分
由＝，则(x1＋a，y1)＝，
则y2＝2y1，
则＝2×(m＞0)，
解得m＝，
则直线AB的斜率＝； 14分
法二：由(1)可知：椭圆方程5x2＋9y2＝5a2，则A(－a,0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由＝，则(x1＋a，y1)＝，则y2＝2y1， 10分
由B，C在椭圆上，
∴，解得
则直线直线AB的斜率k＝＝.
直线AB的斜率为. 14分
17．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛) 已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x＝－2的距离为d1，到点F(－1,0)的距离为d2，且＝.直线l与椭圆C交于不同两点A、B(A，B都在x轴上方)，且∠OFA＋∠OFB＝180°.
图10－16
(1)求椭圆C的方程；
(2)当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；
(3)对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设P(x，y)，则d1＝|x＋2|，d2＝，
∴＝＝，化简，得＋y2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1. 3分
(2)A(0,1)，F(－1,0)，∴kAF＝＝1，
又∵∠OFA＋∠OFB＝180°，∴kBF＝－1，BF：y＝－1(x＋1)＝－x－1.
代入＋y2＝1解得 (舍) ∴B， 6分
kAB＝＝，∴AB：y＝x＋1.即直线l方程为y＝x＋1. 7分
(3)∵∠OFA＋∠OFB＝180°，∴kAF＋kBF＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为y＝kx＋b.
代入＋y2＝1，得x2＋2kbx＋b2－1＝0. 9分
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴kAF＋kBF＝＋＝＋
＝＝0，
∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)
＝2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b
＝2k×－(k＋b)×＋2b＝0，
∴b－2k＝0，12分
∴直线AB方程为y＝k(x＋2)，
∴直线l总经过定点M(－2,0). 14分
18．(本小题满分16分)(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝b2经过椭圆E：＋＝1(0＜b＜2)的焦点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M(－1,0)，N(1,0)，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2－2k2＝1时，求k1·k2的值．
图10－17
[解] (1)因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2＋y2＝b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c＝b，
所以2b2＝4，即b2＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1. 6分
(2)法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(x0，y0)，
联立消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0， 10分
所以x1＋x2＝－，又2m2－2k2＝1，所以x1＋x2＝－，
所以x0＝－，y0＝m－k·＝，
则k1·k2＝·＝＝＝－. 16分
法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(x0，y0)，则
两式作差，得＋＝0， 10分
又x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
∴＋y0(y1－y2)＝0，
∴＋＝0，
又P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线y＝kx＋m上，
∴＝k，
∴x0＋2ky0＝0，①
又T(x0，y0)在直线y＝kx＋m上，∴y0＝kx0＋m，②
由①②可得x0＝－，y0＝.16分
以下同方法一．
19．(本小题满分16分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，E上一点P到右焦点距离的最小值为1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点(0,2)的直线交椭圆E于不同的两点A，B，求·的取值范围.
【导学号：56394079】
[解] (1)由题意得＝，且a－c＝1，∴a＝2，c＝1，
故b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1. 4分
(2)①当k不存在时，A(0，－)，B(0，)， 6分
∴·＝(0，－)·(0，)＝－3；
②当k存在时，设直线方程为y＝kx＋2，则有
整理得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，(i) 10分
又·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝1＋－＋4
＝－3＋，(ⅱ)
Δ＝256k2－16(4k2＋3)>0，从而k2>，(ⅲ) 14分
(ⅲ)代入(ⅱ)中·≤－3＋＝，
∴·∈. 16分
20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知平面直角坐标系xOy内两个定点A(1,0)、B(4,0)，满足PB＝2PA的点P(x，y)形成的曲线记为Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)过点B的直线l与曲线Γ相交于C、D两点，当△COD的面积最大时，求直线l的方程(O为坐标原点)；
(3)设曲线Γ分别交x、y轴的正半轴于M、N两点，点Q是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连接QN交x轴于点E、连接QM交y轴于F.求证：四边形MNEF的面积为定值．
[解] (1)由题设知2＝，两边化简得x2＋y2＝4，
∴点P的轨迹Γ的方程为x2＋y2＝4. 3分
(2)由题意知OS＝＝的斜率一定存在，设l：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，
∵原点到直线l的距离d＝，CD＝2，
∴S△COD＝CD·d＝≤＝2. 6分
当且仅当d2＝2时，取得“＝”，d2＝2＜r2＝4，
∴当d2＝2时，此时，＝2⇒k2＝⇒k＝±.
∴直线l的方程为y＝±(x－4)．
(3)设SMNEF＝S△MNE＋S△MEF＝ME·NF，
设Q(x0，y0)，E(e,0)，F(0，f )(其中x0＜0，y0＜0，x＋y＝4)， 8分
则QM：y＝(x－2)，令x＝0得f ＝，
∴NF＝2－＝.
QN：y＝x＋2，令y＝0得e＝， 12分
∴ME＝2－＝.
∴SMNEF＝ME·NF＝··＝2·＝2·＝2·＝4(定值). 16分
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