专项限时集训(二)
立体几何中的探索性与存在性问题
(对应学生用书第115页)
(限时：60分钟)
1．(本小题满分14分)(南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)如图3，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．
图3
(1)求证：B1C1∥平面A1DE；
(2)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.
[证明] (1)因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC， 2分
又因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE. 4分
又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE. 6分
(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE.8分
又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，10分
又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACC1A1.
12分
又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1. 14分
2．(本小题满分14分)如图4所示，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.
图4
(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；
(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．
[解] (1)因为AB∥DC，AD⊥DC，
所以AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，
所以BD＝，易求BC＝， 4分
因为CD＝2，所以BD⊥BC.
又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，
所以BD⊥平面B1BCC1. 6分
(2)DC的中点为E点．
如图所示，连接BE，
因为DE∥AB，DE＝AB，
所以四边形ABED是平行四边形. 8分
所以AD∥BE.
又AD∥A1D1，所以BE∥A1D1， 10分
所以四边形A1D1EB是平行四边形，所以D1E∥A1B. 12分
因为D1E⊄平面A1BD，
所以D1E∥平面A1BD.14分
3．(本小题满分14分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图5, 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：
图5
(1)直线A1E∥平面ADC1；
(2)直线EF⊥平面ADC1.
【导学号：56394093】
[证明] (1)连接ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点，
所以B1E∥BD且B1E＝BD，
所以四边形B1BDE是平行四边形， 2分
所以BB1∥DE且BB1＝DE，又BB1∥AA1且BB1＝AA1，
所以AA1∥DE且AA1＝DE，
所以四边形AA1ED是平行四边形， 4分
所以A1E∥AD，又因为A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，
所以直线A1E∥平面ADC1.7分
(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1，
又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD⊥BC， 9分
又BB1，BC⊂平面B1BCC1，BB1∩BC＝B，
所以AD⊥平面B1BCC1，
又EF⊂平面B1BCC1，所以AD⊥EF， 11分
又EF⊥C1D，C1D，AD⊂平面ADC1，C1D∩AD＝D，
所以直线EF⊥平面ADC1.14分
4．(本小题满分14分)(镇江市2017届高三上学期期末)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝EC＝AA1.
图6
(1)求证：AC1∥平面BDE；
(2)求证：A1E⊥平面BDE.
[证明] (1)连接AC交BD于点O，连接OE.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，点O为AC的中点，2分
AA1∥CC1且AA1＝CC1，由EC＝AA1，则EC＝CC1，
即点E为CC1的中点，于是在△CAC1中，AC1∥OE. 4分
又因为OE⊂平面BDE，AC1⊄平面BDE.所以AC1∥平面BDE. 6分
(2)连接OA1，根据垂线定理，可得OA1⊥DB，OE⊥DB，OA1∩OE＝O，∴平面A1OE⊥DB.
可得A1E⊥DB. 8分
∵E为CC1的中点，
设AB＝BC＝EC＝AA1＝a，
∴BE＝a，A1E＝a，A1B＝a，
∵A1B2＝A1E2＋BE2，
∴A1E⊥EB. 12分
∵EB⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，EB∩BD＝B，
∴A1E⊥平面BDE. 14分
5．(本小题满分16分)(苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017届高三上学期期末)如图7，在四棱锥E－ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．
图7
求证：(1)直线MN∥平面EBC；
(2)直线EA⊥平面EBC.
[证明] (1)取BE中点F，连接CF，MF，
又M是AE的中点，所以MF綊AB，
又N是矩形ABCD边CD的中点，
所以NC綊AB，所以MF綊NC，
所以四边形MNCF是平行四边形， 4分
所以MN∥CF，
又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，
所以MN∥平面EBC. 8分
(2)在矩形ABCD中，BC⊥AB，
又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面EAB， 12分
又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA，
又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB，BC⊂平面EBC，
所以EA⊥平面EBC. 16分
6．(本小题满分16分)(无锡市2017届高三上学期期末)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．求证：
图8
(1)平面PAD⊥平面ABCD；
(2)EF∥平面PAD.
[证明] (1)∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD.
∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD， 2分
又∵AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，4分
∵CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD. 6分
(2)连接AC、BD交于O，连接OE，OF.
∵ABCD为矩形，∴O为AC中点，
∵E为PC中点，∴OE∥PA.
∵OE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴OE∥平面PAD， 10分
同理OF∥平面PAD， 12分
∵OE∩OF＝O，∴平面OEF∥平面PAD， 14分
∵EF⊂平面OEF，∴EF∥平面PAD. 16分
7．(本小题满分16分)(扬州市2017届高三上学期期末)如图9，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．
图9
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若AP＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD.
【导学号：56394094】
[证明] (1)因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB， 3分
又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB. 6分
(2)在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，
又AF⊂面PAD，所以CD⊥AF.①
因为PA＝AD且F是PD的中点，所以AF⊥PD，②
由①②及PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD. 16分
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