专题限时集训(一) 集合与常用逻辑用语
(对应学生用书第77页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝________.
{x|－1＜x＜2} [集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，故答案为：{x|－1＜x＜2}．]
2．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．
必要不充分 [充分性不成立，如y＝x2图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，y＝f(x)是奇函数，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称．]
3．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知R为实数集，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x(4－x)＜0}，则A∩(∁RB) ＝________.
{1,2,3,4} [集合A＝{1,2,3,4,5}，
B＝{x|x(4－x)＜0}＝{x|x(x－4)＞0}＝{x|x＜0或x＞4}，
∴∁RB＝{x|0≤x≤4}，
∴A∩(∁RB)＝{1,2,3,4}．
故答案为：{1,2,3,4}．]
4．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知数列{an}，{bn}满足bn＝an＋an＋1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的________条件．
充分不必要 [若数列{an}为等差数列，设其公差为d1，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d1，所以数列{bn}是等差数列；若数列{bn}为等差数列，设其公差为d2，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝d2 ，不能推出数列{an}为等差数列，所以“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的充分不必要条件．]
5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)若集合A＝{x∈Z|－2＜x＜2}，B＝{x|y＝log2x2}，则A∩B＝________.
【导学号：56394004】
{－1,1} [因为A＝{x∈Z|－2＜x＜2}＝{－1,0,1}，B＝{x|y＝log2x2}＝{x|x≠0}，所以A∩B＝{－1,1}．]
6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的________条件 .
充要 [由S6＝3S2，得a1(1＋q＋q2＋q3＋q4＋q5)＝3a1(1＋q)，即q5＋q4＋q3＋q2－2－2q＝0，(q＋1)2(q－1)(q2＋2)＝0，解得q＝±1，所以“|q|＝1”是“S6＝3S2”的充要条件．]
7．(四川省2016年普通高考适应性测试)设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有 取值构成的集合是________．
{－1,0,1} [因为B⊆A，所以B＝∅，{－1}，{1}，因此a＝－1,0,1.]
8．已知数列{an}的前n项和为Sn＝aqn＋b(a≠0，q≠0,1)，则“a＋b＝0”是数列{an}为等比数列的________条件．
充要 [当a＋b＝0时，a1＝S1＝aq＋b＝a(q－1)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝aqn－1(q－1)，
当n＝1时，也成立，
于是＝＝q(n∈N*)，
即数列{an}为等比数列；
当n＝1时，a1＝S1＝aq＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝aqn－1(q－1)，
∵q≠0，q≠1，
∴＝＝q(n∈N*)，
∵{an}为等比数列，
∴＝＝q，＝q，
即aq－a＝aq＋b，∴a＋b＝0，
综上所述，“a＋b＝0”是数列{an}为等比数列的充要条件．]
9．(江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)命题“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定是________．
∀x∈R，x2－x＋1＞0 [命题“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定是“∀x∈R，x2－x＋1＞0”．]
10．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)下列四个命题：
p1：任意x∈R,2x＞0；p2：存在x∈R，x2＋x＋1＜0；p3：任意x∈R，sin x＜2x；p4：存在x∈R，cos x＞x2＋x＋1.其中的真命题是________．
p1，p4 [对于x∈R,2x＞0，p1为真命题；x2＋x＋1＝2＋＞0，p2为假命题；sin＝1＞2－，p3为假命题；x＝－时，cos x＞cos ＝＞＝x2＋x＋1，p4为真命题．]
11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)若命题p：“∃x0∈R,2x0－2≤a2－3a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
[1,2] [“∃x0∈R,2x0－2≤a2－3a”是假命题等价于∀x∈R,2x－2＞a2－3a，即－2≥a2－3a，解之得1≤a≤2，即实数a的取值范围是[1,2]．]
12．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设集合S＝{0,1,2,3，…，n}，则集合S中任意两个元素的差的绝对值的和为________．
n3＋n2＋n [设集合中第k个元素，则其值为k－1.
|(k－1)－k|＋|(k－1)－(k＋1)|＋…＋|(k－1)－n|
＝1＋2＋…＋(n＋1－k)
＝，
Tn＝n2·n＋n·n＋n－(1＋2＋…＋n)n－(1＋2＋…＋n)＋·(12＋22＋…＋n2)＝＝n3＋n2＋n.故答案是：n3＋n2＋n.]
13．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设实数a＞1，b＞1，则“a＜b”是“ln a－ln b＞a－b”的________条件．(请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中之一填空)
充要 [令f(x)＝ln x－x(x＞1)，则f′(x)＝－1＜0，因此a＜b⇔f(a)＞f(b)⇔ln a－a＞ln b－b⇔ln a－ln b＞a－b，即“a＜b”是“ln a－ln b＞a－b”的充要条件．]
14．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sin x恒成立；
②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；
④命题“∀x∈R，x－ln x＞0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤0 ”．
其中正确结论的个数是________．
4 [对于①，令y＝x－sin x，则y′＝1－cos x≥0，则函数y＝x－sin x在R上单调递增，则当x＞0时，x－sin x＞0－0＝0，即x＞sin x恒成立，故①正确；对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0” 的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”正确；对于③，命题p∧q为真，则命题p，q均为真，命题p∨q为真，反过来，当命题p∨q为真时，则p，q中至少有一个为真，不能推出命题p∧q为真，所以“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件， 故③正确；对于④，由全称命题与特称命题的关系可知，命题“∀x∈R，x－ln x＞0 ”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤0”，所以④正确．]
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知m∈R，设p：∀x∈[－1,1]，x2－2x－4m2＋8m－2≥0成立；q：∃x∈[1,2]，log(x2－mx＋1)＜－1成立，如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围.
【导学号：56394005】
[解] 若p为真：对∀x∈[－1,1]，4m2－8m≤x2－2x－2恒成立，
设f(x)＝x2－2x－2，配方得f(x)＝(x－1)2－3，
∴f(x)在[－1,1]上的最小值为－3，
∴4m2－8m≤－3，解得≤m≤，2分
∴p为真时：≤m≤；
若q为真：∃x∈[1,2]，x2－mx＋1＞2成立，
∴m＜成立.4分
设g(x)＝＝x－，
易知g(x)在[1,2]上是增函数，∴g(x)的最大值为g(2)＝，∴m＜，
∴q为真时，m＜，
∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假，9分
当p真q假时∴m＝，
当p假q真时∴m＜，12分
综上所述，m的取值范围是m＜或m＝.14分
16．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)设集合A＝，B＝{x|x2＋2mx－3m2＜0}(m＞0)．
(1)若m＝2，求A∩B；
(2)若A⊇B，求实数m的取值范围．
[解] 集合A＝{x|－2≤x≤5}，因为m＞0，所以B＝(－3m，m)，4分
(1)m＝2时，B＝{x|－6＜x＜2}，
所以A∩B＝{x|－2≤x＜2}.8分
(2)B＝(－3m，m)，要使B⊆A，10分
只要⇒m≤，12分
所以0＜m≤.
综上，知m的取值范围是.14分
17．(本小题满分14分)已知集合A＝{x|log2x＜log23}，B＝，C＝{x|a＜x＜a＋1}．
(1)求集合A∩B；
(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．
[解] (1)由log2x＜log23，得0＜x＜3. 2分
由不等式＜0得(x－4)(x＋2)＜0，
所以－2＜x＜4. 5分
所以A∩B＝{x|0＜x＜3}. 7分
(2)因为B∪C＝B，所以C⊆B， 9分
所以 11分
解得－2≤a≤3.
所以，实数a的取值范围是[－2,3]. 14分
18．(本小题满分16分)设命题p：函数y＝kx＋1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2＋(2k－3)x＋1＝0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．
[解] ∵函数y＝kx＋1在R上是增函数，∴k＞0， 2分
由∃x∈R，x2＋(2k－3)x＋1＝0得方程x2＋(2k－3)x＋1＝0有解，4分
∴Δ＝(2k－3)2－4≥0，解得k≤或k≥. 6分
∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假， 10分
①若p真q假，则∴＜k＜； 12分
②若p假q真，则解得k≤0， 14分
综上可得k的取值范围为(－∞，0]∪. 16分
19．(本小题满分16分)已知命题p：函数y＝loga(2x＋1)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对任意实数x恒成立，若“p且﹁q”为真命题，求实数a的取值范围．
[解] 因为命题p：函数y＝loga(2x＋1)在定义域上单调递增，所以a＞1.4分
∴又因为命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对任意实数x恒成立；所以a＝2或 综上所述：－2＜a≤2，10分
因为p且﹁q为真命题，∴p真q假， 12分
∴∴a∈(2，＋∞). 14分
∴实数a的取值范围为(2，＋∞). 16分
20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知命题p：函数f(x)＝x3＋ax2＋x在R上是增函数；命题q：若函数g(x)＝ex－x＋a在区间[0，＋∞)上没有零点．
(1)如果命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围.
【导学号：56394006】
[解] (1)如果命题p为真命题，
∵函数f(x)＝x3＋ax2＋x在R上是增函数，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋1≥0对x∈(－∞，＋∞)恒成立， 4分
∴Δ＝4a2－12≤0⇒a∈[－，]. 7分
(2)g′(x)＝ex－1≥0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，
∴g(x)在区间[0，＋∞)上递增， 9分
若命题q为真命题，g(0)＝a＋1＞0⇒a＞－1， 11分
由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p，q一真一假，
若p真q假，则⇒a∈[－，－1]， 13分
若p假q真，则⇒a∈(，＋∞)， 14分
综上所述，a∈[－，－1]∪(，＋∞). 16分
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