2018年江苏高考数学二轮复习练习：预测试题（一） Word版含答案.doc

‎2018年江苏高考预测试题(一)‎ ‎(对应学生用书第129页)‎ ‎(限时：120分钟)‎ 参考公式 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝xi.‎ 棱柱的体积V＝Sh，其中S是棱柱的底面积，h是高．‎ 棱锥的体积V＝Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．‎ 数学Ⅰ试题 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)‎ ‎1．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝________.‎ ‎{0,3}　[集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝{0,3}．]‎ ‎2．已知b∈R，若(2＋bi)(2－i)为纯虚数，则|1＋bi|＝________.‎ 　[(2＋bi)(2－i)＝4＋b＋(2b－2)i为纯虚数，‎ ‎∴解得b＝－4.‎ 则|1＋bi|＝|1－4i|＝＝.]‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝8x的焦点恰好是双曲线－＝1的右焦点，则双曲线的离心率为________. ‎ ‎【导学号：56394116】‎ ‎2　[抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，则双曲线－＝1的右焦点为(2,0)，‎ 即有c＝＝2，不妨设a＝1，‎ 可得双曲线的离心率为e＝＝2.]‎ ‎4．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________．‎ 　[∵某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，‎ ‎∴基本事件总数n＝3×3＝9，‎ 甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，‎ ‎∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率P＝＝＝.]‎ ‎5．已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x－y的最大值为________．‎ 　[根据题意，作出不等式组 所表示的可行域如图中阴暗部分所示，作出直线2x－y＝0并平移，可知当直线平移至过点A时，目标函数z＝2x－y取得最大值，由解得故z＝2x－y的最大值为2×－＝.]‎ ‎6．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9,10,11,1，那么这组数据的方差s2可能的最大值是________．‎ 　[设这组数据的最后2个分别是：10＋x，y，‎ 则9＋10＋11＋(10＋x)＋y＝50，‎ 得：x＋y＝10，故y＝10－x，‎ 故s2＝[1＋0＋1＋x2＋(－x)2]＝＋x2，‎ 显然x最大取9时，s2最大是.]‎ ‎7．执行下面的流程图1，输出的T＝________.‎ 图1‎ ‎30　[执行流程图依次得 故输出T＝30.]‎ ‎8．如图2，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.‎ 图2‎ 　[∵＝2，＝λ＋μ，‎ ‎∴＝λ＋2μ.‎ ‎∵E为线段AO的中点，∴＝(＋)，‎ ‎∴λ＝，2μ＝，解得μ＝，∴λ＋μ＝.]‎ ‎9．已知sin α＝3sin，则tan＝________.‎ ‎2－4　[sin α＝3sin＝3sin αcos＋3cos αsin ‎＝sin α＋cos α，∴tan α＝.‎ 又tan＝tan＝＝＝2－，‎ ‎∴tan＝ ‎＝＝ ‎＝－＝2－4.]‎ ‎10．四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝，点E为棱CD上一点，则三棱锥E－PAB的体积为________．‎ 图3‎ 　[∵底面ABCD是矩形，E在CD上，‎ ‎∴S△ABE＝AB·AD＝×2×3＝3.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，‎ ‎∴VE－PAB＝VP－ABE＝S△ABE·PA＝×3×＝.]‎ ‎11．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，且数列{}也为等差数列，则a11＝________.‎ ‎63　[设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝3，且数列{}也为等差数列，∴2＝＋，‎ ‎∴2＝＋，化为d2－12d＋36＝0，解得d＝6，则a11＝3＋10×6＝63.]‎ ‎12．已知经过点P的两个圆C1，C2都与直线l1：y＝x，l2：y＝2x相切，则这两圆的圆心距C‎1C2等于________. ‎ ‎【导学号：56394117】‎ 　[设圆心坐标为(x，y)，由于圆与直线l1：‎ y＝x，l2：y＝2x都相切，根据点到直线的距离公式得：＝，解得y＝x，∴圆心只能在直线y＝x上．设C1(a，a)，C2(b，b)，‎ 则圆C1的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝，‎ 圆C2的方程为(x－b)2＋(y－b)2＝，‎ 将代入，得 ‎∴a，b是方程(1－x)2＋2＝，‎ 即－5x＋＝0的两根，∴a＋b＝，ab＝，‎ ‎∴C‎1C2＝＝·＝·＝.]‎ ‎13．已知x＞y＞0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________．‎ 　[由x＞y＞0，可得x＋3y＞0，x－y＞0，‎ ‎[(x＋3y)＋(x－y)] ‎＝5＋＋≥5＋2＝9，‎ 可得＋≥＝≥.‎ 当且仅当2(x－y)＝x＋3y，即x＝5y＝时，取得最小值.]‎ ‎14．已知函数f (x)＝若函数g(x)＝‎2f (x)－ax恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是________．‎ 　[g(x)＝ 显然，当a＝2时，g(x)有无穷多个零点，不符合题意；‎ 当x≥a时，令g(x)＝0得x＝0，‎ 当x＜a时，令g(x)＝0得x＝0或x2＝，‎ ‎(1)若a＞0且a≠2，则g(x)在[a，＋∞)上无零点，在(－∞，a)上存在零点x＝0和x＝－，‎ ‎∴≥a，解得0＜a＜2，‎ ‎(2)若a＝0，则g(x)在[0，＋∞)上存在零点x＝0，‎ 在(－∞，0)上存在零点x＝－，符合题意；‎ ‎(3)若a＜0，则g(x)在[a，＋∞)上存在零点x＝0，‎ ‎∴g(x)在(－∞，a)上只有1个零点，‎ ‎∵0∉(－∞，a)，‎ ‎∴g(x)在(－∞，a)上的零点为x＝－，‎ ‎∴－＜a，解得－＜a＜0.‎ 综上，a的取值范围是.]‎ 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎15．(本小题满分14分)在△ABC中，AB＝6，AC＝3，·＝－18.‎ ‎(1)求BC的长；‎ ‎(2)求tan 2B的值. ‎ ‎【导学号：56394118】‎ ‎[解]　(1)由·＝－18可得AB·AC·cos A＝－18，‎ ‎∵AB＝6，AC＝3，‎ ‎∴cos A＝－＝－，‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴A＝，‎ 由余弦定理可得：‎ BC＝＝3； 6分 ‎(2)法一：由(1)可得：a＝3，b＝3，c＝6，‎ 可得：cos B＝＝，‎ 那么sin B＝＝，‎ ‎∴tan B＝＝，‎ 故得tan 2B＝＝. 14分 法二：由(1)可得：cos A＝－，A＝，‎ 那么：0＜B＜，‎ ‎∵a＝3，b＝3，c＝6，‎ 那么sin A＝，‎ 正弦定理可得：＝，‎ 可得sin B＝＝，‎ 那么：cos B＝＝，‎ ‎∴tan B＝＝，‎ 故得tan 2B＝＝. 14分 ‎16．(本小题满分14分)如图4，已知直三棱柱ABC－A1B‎1C1的侧面ACC‎1A1是正方形，点O是侧面ACC‎1A1的中点，∠ACB＝，M是棱BC的中点．‎ 图4‎ ‎(1)求证：OM∥平面ABB‎1A1；‎ ‎(2)求证：平面ABC1⊥平面A1BC.‎ ‎[证明]　(1)在△A1BC中，因为O是A‎1C的中点，M是BC的中点，‎ 所以OM∥A1B.‎ 又OM⊄平面ABB‎1A1，A1B⊂平面ABB‎1A1，所以OM∥平面ABB‎1A1. 4分 ‎(2)因为ABC－A1B‎1C1是直三棱柱，所以CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥BC，‎ 又∠ACB＝，即BC⊥AC，而CC1，AC⊂平面ACC‎1A1，且CC1∩AC＝C，‎ 所以BC⊥平面ACC‎1A1. 8分 而AC1⊂平面ACC‎1A1，所以BC⊥AC1，‎ 又ACC‎1A1是正方形，所以A‎1C⊥AC1，而BC，A‎1C⊂平面A1BC，且BC∩A‎1C＝C，‎ 所以AC1⊥平面A1BC.‎ 又AC1⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面A1BC. 14分 ‎17．(本小题满分14分)如图5，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为‎2 km，C，D两点在半圆弧上，满足BC＝CD，设∠COB＝θ.‎ 图5‎ ‎(1)现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB，BC，CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l最大值；‎ ‎(2)若要在景区内种植鲜花，其中在△AOD和△BOC内种满鲜花，在扇形COD内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．‎ ‎[解]　(1)由题∠COB＝θ，∠AOD＝π－2θ，θ∈，‎ 取BC中点M，连接OM，则OM⊥BC，∠BOM＝，‎ 所以BC＝2BM＝2sin.同理可得 CD＝2sin，AD＝2sin＝2cos θ，‎ 所以l＝2＋2sin＋2sin＋2cos θ ‎＝2＋4sin＋2，‎ 即l＝－42＋5，θ∈.‎ 所以当sin＝，即θ＝时，有lmax＝5. 6分 ‎(2)S△BOC＝sin θ，S△AOD＝sin(π－2θ)＝sin θcos θ，S扇形COD＝θ.‎ 所以S＝sin θ＋sin θcos θ＋θ，‎ 所以S′＝cos θ＋cos2θ－sin2θ＋ ‎ ＝(4cos θ＋3)(2cos θ－1)，‎ 因为θ∈，由S′＝0得θ＝，列表得 θ S′‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ S 递增 极大值 递减 所以当θ＝时，面积S取得最大值.14分 ‎18．(本小题满分16分)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距)，直线l：y＝kx＋m(k＞0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B.‎ ‎(1)求椭圆方程和直线方程；‎ ‎(2)试在圆N上求一点P，使＝2.‎ ‎[解]　(1)由题意知解得a＝2，c＝1，所以b＝.‎ 所以椭圆M的方程为：＋＝1.‎ 圆N的方程为(x－1)2＋y2＝5.‎ 由直线l：y＝kx＋m与椭圆M只有一个公共点，所以由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0，①‎ 所以Δ＝64k‎2m2‎－4(3＋4k2)(‎4m2‎－12)＝0得m2＝3＋4k2，②‎ 由直线l：y＝kx＋m与N只有一个公共点，得＝，‎ 即k2＋‎2km＋m2＝5＋5k2，③‎ 将②代入③得km＝1，④‎ 由②④且k＞0，得k＝，m＝2.‎ 所以直线l：y＝x＋2. 8分 ‎(2)将k＝，m＝2代入①可得A，‎ 又过切点B的半径所在的直线l′为y＝－2x＋2，所以得交点B(0,2)，‎ 设P(x0，y0)，因为＝2，‎ 则＝8，化简得：7x＋7y＋16x0－20y0＋22＝0，⑤‎ 又P(x0，y0)满足x＋y－2x0＝4，⑥‎ 将⑤－7×⑥得：3x0－2y0＋5＝0，即y0＝.⑦‎ 将⑦代入⑥得：13x＋22x0＋9＝0，解得x0＝－1或x0＝－，‎ 所以P(－1,1)或P. 16分 ‎19．(本小题满分16分)设函数f (x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝ln x.‎ ‎(1)当m＞1时，求函数y＝f (x)在[0，m]上的最大值；‎ ‎(2)设函数p(x)＝f (x)－g(x)，若函数p(x)有零点，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当x∈[0,1]时，‎ f (x)＝x(1－x)＋m＝－x2＋x＋m＝－2＋m＋，‎ 当x＝时，f (x)max＝m＋.‎ 当x∈(1，m]时，f (x)＝x(x－1)＋m＝x2－x＋m＝2＋m－，‎ 因为函数y＝f (x)在(1，m]上单调递增，所以f (x)max＝f (m)＝m2.‎ 由m2≥m＋，得m2－m－≥0，又m＞1，所以m≥.‎ 所以当m≥时，f (x)max＝m2；‎ 当1＜m＜时，f (x)max＝m＋. 6分 ‎(2)函数p(x)有零点，即方程f (x)－g(x)＝x|x－1|－ln x＋m＝0有解，‎ 即m＝ln x－x|x－1|有解．令h(x)＝ln x－x|x－1|，‎ 当x∈(0,1]时，h(x)＝x2－x＋ln x.‎ 因为h′(x)＝2x＋－1≥2－1＞0，‎ 所以函数h(x)在(0,1]上是增函数，所以h(x)≤h(1)＝0. 10分 当x∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x＋ln x.‎ 因为h′(x)＝－2x＋＋1＝ ‎＝－＜0，‎ 所以函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，‎ 所以h(x)＜h(1)＝0.‎ 所以方程m＝ln x－x|x－1|有解时m≤0.‎ 即函数p(x)有零点时实数m的取值范围是(－∞，0]. 16分 ‎20．(本小题满分16分)已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1＝1，S2＝4，对任意的n∈N*，都有3Sn＋1＝2Sn＋Sn＋2＋an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若{bn}为等差数列，对任意的n∈N*，都有Sn＞Tn.证明：an＞bn；‎ ‎(3)若{bn}为等比数列，b1＝a1，b2＝a2，求满足＝ak(k∈N*)的n值. ‎ ‎【导学号：56394119】‎ ‎[解]　(1)由3Sn＋1＝2Sn＋Sn＋2＋an，得2(Sn＋1－Sn)＝Sn＋2－Sn＋1＋an，‎ 即2an＋1＝an＋2＋an，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an.‎ 由a1＝1，S2＝4，可知a2＝3.‎ 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ 故{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*.4分 ‎(2)证明：法一：设数列{bn}的公差为d，‎ 则Tn＝nb1＋n(n－1)d，‎ 由(1)知，Sn＝n(1＋2n－1)＝n2.‎ 因为Sn＞Tn，所以n2＞nb1＋n(n－1)d，‎ 即(2－d)n＋d－2b1＞0恒成立，‎ 所以即 又由S1＞T1，得b1＜1，‎ 所以an－bn＝2n－1－b1－(n－1)d＝(2－d)n＋d－1－b1≥2－d＋d－1－b1＝1－b1＞0.‎ 所以an＞bn，得证. 8分 法二：设{bn}的公差为d，假设存在自然数n0≥2，使得an0≤bn0，‎ 则a1＋2(n0－1)≤b1＋(n0－1)d，即a1－b1≤(n0－1)(d－2)，‎ 因为a1＞b1，所以d＞2.‎ 所以Tn－Sn＝nb1＋n(n－1)d－n2＝n2＋n，‎ 因为d－1＞0，所以存在Nn0∈N*，当n＞Nn0时，Tn－Sn＞0恒成立．‎ 这与“对任意的n∈N*，都有Sn＞Tn”矛盾．‎ 所以an＞bn，得证.8分 ‎(3)由(1)知，Sn＝n2，因为{bn}为等比数列，‎ 且b1＝1，b2＝3，‎ 所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列．‎ 所以bn＝3n－1，Tn＝(3n－1)．‎ 则＝＝＝3－，‎ 因为n∈N*，所以6n2－2n＋2＞0，所以＜3.‎ 而ak＝2k－1，所以＝1，即3n－1－n2＋n－1＝0(*)．‎ 当n＝1,2时，(*)式成立；‎ 当n≥2时，设f (n)＝3n－1－n2＋n－1，‎ 则f (n＋1)－f (n)＝3n－(n＋1)2＋n－(3n－1－n2＋n－1)＝2(3n－1－n)＞0，‎ 所以0＝f (2)＜f (3)＜…＜f (n)＜…，‎ 故满足条件的n的值为1和2.16分 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．[选做题](本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ 图6‎ A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图6，已知AB，CD是圆O两条相互垂直的直径，弦DE交AB的延长线于点F，若DE＝24，EF＝18，求OE的长．‎ ‎[解]　设半径为r，由切割线定理，‎ 得FB·FA＝FE·FD，即18×42＝FB·(FB＋2r)，‎ 在三角形DOF中，由勾股定理，得DF2＝OD2＋FO2，‎ 即(18＋24)2＝r2＋(r＋BF)2.‎ 由上两式解得r＝6.‎ 所以OE＝6. 10分 B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知矩阵M＝的两个特征向量α1＝，α2＝，若β＝，求M2β.‎ ‎[解]　设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，‎ 则由可解得m＝n＝0，λ1＝2，λ2＝1，‎ 又β＝＝＋2＝α1＋2α2，‎ 所以M2β＝M2(α1＋2α2)＝λα1＋2λα2‎ ‎＝4＋2＝. 10分 C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ，若直线l与曲线C相交于A，B两点．求线段AB的长．‎ ‎[解]　由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcos θ，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.‎ 直线l的方程化成普通方程为x－y＋1＝0.圆心到直线l的距离为 d＝＝.‎ 所求弦长L＝2＝.10分 D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)‎ 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1.‎ ‎[解]　①当x＜－3时，原不等式转化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，‎ 解得x＜10，∴x＜－3.‎ ‎②当－3≤x＜时，原不等式转化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得x＜－，‎ ‎∴－3≤x＜－.‎ ‎③当x≥时，原不等式转化为(x＋3)－(2x－1)＜＋1，解得x＞2，∴x＞2.‎ 综上可知，原不等式的解集为. 10分 ‎[必做题](第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎22．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y.设ξ为随机变量，若为整数，则ξ＝0；若为小于1的分数，则ξ＝－1；若为大于1的分数，则ξ＝1.‎ ‎(1)求概率P(ξ＝0)；‎ ‎(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．‎ ‎[解]　(1)依题意，数对(x，y)共有16种，其中使为整数的有以下8种：‎ ‎(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，‎ 所以P(ξ＝0)＝＝；4分 ‎(2)随机变量ξ的所有取值为－1,0,1，‎ ξ＝－1有以下6种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，‎ 故P(ξ＝－1)＝＝，‎ ξ＝1有以下2种：(3,2)，(4,3)，故P(ξ＝1)＝＝，‎ ‎∴P(ξ＝0)＝1－－＝，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ξ的数学期望为E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－.10分 ‎23．(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2,1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连接A′B.‎ ‎(1)求抛物线C的标准方程；‎ ‎(2)问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. ‎ ‎【导学号：56394120】‎ 图7‎ ‎[解]　(1)将点(2,1)代入抛物线C：x2＝2py的方程得，p＝2.‎ 所以，抛物线C的标准方程为x2＝4y. 2分 ‎(2)设直线l的方程为y＝kx－1，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1)．‎ 由得x2－4kx＋4＝0. 6分 则Δ＝16k2－16＞0，x1·x2＝4，x1＋x2＝4k.‎ 所以kA′B＝＝＝.‎ 于是直线A′B的方程为y－＝(x－x2)．‎ 所以y＝(x－x2)＋＝x＋1.‎ 当x＝0时，y＝1，‎ 所以直线A′B过定点(0,1). 10分