专项限时集训(四)
解析几何中的范围、定值和探索性问题
(对应学生用书第119页)
(限时：60分钟)
1．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4，点A(1，)为椭圆＋＝1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点．
图4
(1)求椭圆方程；
(2)若直线AB，AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求△ABC面积的最大值，并求出此时直线BC的方程．
[解] (1)把点A(1，)代入＋＝1得n＝6，
故椭圆方程为＋＝1. 4分
(2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直，
因此其斜率必存在，设AB，AC的斜率分别为k1、k2，
由得点B的横坐标为x＝1－，
∴点B的纵坐标为y＝－，
即B.
同理可得点C的坐标为C，
∵k1＋k2＝0，∴直线BC的斜率为kBC＝.
设直线BC的方程为y＝x＋m，代入方程＋＝1得6x2＋2mx＋m2－6＝0，
xB＋xC＝－m，xBxC＝，|BC|＝|xB－xC|＝2，
10分
∴|BC|＝，
又点A到直线BC的距离为d＝，
∴S＝|BC|·d＝＝，
∴当m2＝6，即m＝±时，△ABC面积取得最大值为.
此时，直线BC的方程为y＝x±. 14分
2．(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)．
图5
(1)若QF＝2FP，求直线l的方程；
(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
【导学号：56394100】
[解] (1)因为a2＝4，b2＝3，所以c＝＝1，
所以F的坐标为(1,0)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，
代入椭圆方程＋＝1，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
则y1＝，y2＝.
若QF＝2FP，即＝2，
则＋2·＝0，
解得m＝，
故直线l的方程为x－2y－＝0. 6分
(2)由(1)知，y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以my1y2＝－＝(y1＋y2)，
由A(－2,0)，B(2,0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，
所以＝·＝＝＝，
故存在常数λ＝，使得k1＝k2. 14分
3．(本小题满分16分)如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的一点，从原点O向圆R：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.
图6
(1)若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1k2的值.
【导学号：56394101】
[解] (1)连接OR(图略)．设圆R的半径为r，由圆R的方程知r＝2，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以|OR|＝r＝4，即x＋y＝16.①
又点R在椭圆C上，所以＋＝1，②
联立①②，解得
所以圆R的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8. 6分
(2)因为直线OP：y＝k1x和OQ：y＝k2x都与圆R相切，所以＝2，＝2，
化简得(x－8)k－2x0y0k1＋y－8＝0，(x－8)k－2x0y0k2＋y－8＝0.
所以k1，k2是方程(x－8)k2－2x0y0k＋y－8＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系，得k1k2＝，
因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，即y＝12－x，所以k1k2＝＝－. 16分
4．(本小题满分16分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
【解】 (1)由题意得解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 4分
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.
当x0≠0时，
直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝|2－xN|＝. 10分
所以|AN|·|BM|＝·
＝
＝
＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
综上，|AN|·|BM|为定值. 16分
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