专项限时集训(五)
复杂数列的通项公式与求和问题
(对应学生用书第121页)
(限时：60分钟)
1．(本小题满分14分)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
【导学号：56394103】
[解] (1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.
所以{an}的通项公式为an＝n.
b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2. 6分
(2)因为bn＝
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. 14分
2．(本小题满分14分)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，
所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d.
由即
可解得所以bn＝3n＋1. 6分
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×
＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2. 14分
3．(本小题满分14分)(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知数列{an}的前n项和为An，对任意n∈N*满足－＝，且a1＝1，数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝5，其前9项和为63.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝＋，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn≥2n＋a，求实数a的取值范围；
(3)将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6，…，求这个新数列的前n项和Sn.
[解] (1)∵－＝，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
∴＝A1＋(n－1)×＝n＋，即An＝(n∈N*)，
∴an＋1＝An＋1－An＝－＝n＋1(n∈N*)，
又a1＝1，∴an＝n(n∈N*)，
∵bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，∴数列{bn}是等差数列，
设{bn}的前n项和为Bn，∵B9＝＝63且b3＝5，
∴b7＝9，∴{bn}的公差为＝＝1，
bn＝n＋2(n∈N*).4分
(2)由(1)知cn＝＋＝＋
＝2＋2，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝2n＋2
＝2n＋2＝
2n＋3－2，
∴Tn－2n＝3－2，
设Rn＝3－2，则Rn＋1－Rn
＝2＝＞0，
∴数列{Rn}为递增数列，
∴(Rn)min＝R1＝，
∵对任意正整数n，都有Tn－2n≥a恒成立，∴a≤.
8分
(3)数列{an}的前n项和An＝，数列{bn}的前n项和Bn＝.
①当n＝2k(k∈N*)时，Sn＝Ak＋Bk＝＋＝k2＋3k；
②当n＝4k＋1(k∈N*)时，Sn＝A2k＋1＋B2k＝＋＝4k2＋8k＋1，特别地，当n＝1时，S1＝1也符合上式；
③当n＝4k－1(k∈N*)时，Sn＝A2k－1＋B2k＝＋＝4k2＋4k.
综上，Sn＝ 14分
4．(本小题满分16分)已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．
(1)设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)设a1＝d，Tn＝ (－1)kb，n∈N*，求证： ＜.
[证明] (1)由题意得b＝anan＋1，
cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1.
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，
所以{cn}是等差数列.6分
(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)
＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)
＝2d·
＝2d2n(n＋1). 10分
所以 ＝ ＝ ＝·＜.
16分
5．(本小题满分16分)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中
q>0，n∈N*.
(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.
【导学号：56394104】
[解] (1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到
an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，
故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，
所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
从而an＝qn－1.
由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得
2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0.
由已知，q>0，故q＝2.
所以an＝2n－1(n∈N*). 8分
(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，
所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.
由e2＝＝解得q＝.
因为1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以>qk－1(k∈N*)．
于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝，
故e1＋e2＋…＋en>. 16分
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