专题限时集训(六) 数列
(对应学生用书第92页)
(限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
1．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N*)，若数列{an}是常数列，则a＝________.
－2 [因为数列{an}是常数列，所以a＝a2＝＝，即a(a＋1)＝a2－2，解得a＝－2.]
2．(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)设{an}是等差数列，若a4＋a5＋a6＝21，则S9＝________.
63 [由a4＋a5＋a6＝21得a5＝7，所以S9＝＝9a5＝63.]
3．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．
1 830 [当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1；
当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3.
所以a2k＋1＋a2k－1＝2，所以a2k＋1＋a2k＋3＝2，
所以a2k－1＝a2k＋3，所以a1＝a5＝…＝a61.
所以a1＋a2＋a3＋…＋a60
＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)
＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)
＝＝30×61＝1 830.]
4．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)等差数列{an}的前n项和Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝________.
12 [∵S3＝12，∴S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝12.解得d＝2，
则a6＝a1＋5d＝2＋2×5＝12.]
5．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＝3，S3＋S4＝，则a3＝________.
3 [∵等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＝3，S3＋S4＝，
∴＋＝，解得a1＝.则a3＝×32＝3.]
6．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6
成等差数列．且a2＋a5＝4，则a8的值为________．
2 [∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2＋a5＝4，
∴解得a1q＝8，q3＝－，
∴a8＝a1q7＝(a1q)(q3)2＝8×＝2.]
7．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升．
[设最上面一节的容积为a1，
由题设知解得a1＝.]
8．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知{an}是公差不为0的等差数列，Sn是其前n项和，若a2a3＝a4a5，S9＝1，则a1的值是________.
【导学号：56394041】
－ [设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∵a2a3＝a4a5，S9＝1，
∴
解得a1＝－.]
9．(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)在各项均为正数的等比数列{an}中，若log2a2＋log2a8＝1，则a3·a7＝________.
2 [由log2a2＋log2a8＝1得log2(a2a8)＝1，所以a2a8＝2，由等比数列性质可得a3a7＝a2a8＝2.]
10．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S4－5S2＝0，则S5的值为________．
31 [若等比数列的公比等于1，由a1＝1，则S4＝4,5S2＝10，与题意不符．
设等比数列的公比为q(q≠1)，
由a1＝1，S4＝5S2，得＝5a1(1＋q)，
解得q＝±2.
∵数列{an}的各项均为正数，∴q＝2.
则S5＝＝31.]
11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)在△ABC中，A1，B1分别是边BA，CB
的中点，A2，B2分别是线段A1A，B1B的中点，…，An，Bn分别是线段An－1A，Bn－1B(n∈N*，n>1)的中点， 设数列{an}，{bn}满足：向量＝an＋bn(n∈N*)，有下列四个命题，其中假命题是：________.
【导学号：56394042】
①数列{an}是单调递增数列，数列{bn}是单调递减数列；
②数列{an＋bn}是等比数列；
③数列有最小值，无最大值；
④若△ABC中，C＝90°，CA＝CB，则||最小时，an＋bn＝.
③ [由＝＝(－)，＝，＝＋＝＋，所以an＝1－，bn＝－1.则数列{an}是单调递增数列，数列{bn}是单调递减数列，故①正确；数列{an＋bn}即为是首项和公比均为的等比数列，故②正确；而当n＝1时，a1＝，b1＝0，不存在；n＞1时，＝＝－1＋在n∈N*上递增，无最小值和最大值，故③错误；在△ABC中，C＝90°，CA＝CB，则||2＝(a＋b)2＋2anbn·＝52－，当n＝1时，取得最小值，即有||最小时，an＋bn＝，故④正确．]
12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．
[因为an＋1＝⇒＝＋1⇒＋1＝2⇒＋1＝2n－1＝2n，所以bn＋1＝(n－2λ)·2n，因为数列{bn}是单调递增数列，所以当n≥2时bn＋1>bn⇒(n－2λ)·2n>(n－1－2λ)·2n－1⇒n>2λ－1⇒2>2λ－1⇒λb1⇒(1－2λ)·2>－λ⇒λ0⇒>0⇒a9>0，
S18
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