2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化专题 三角函数（附答案与解析）

专题 03 三角函数 —2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】在备考时应注意以下几个方面： (1)加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或最值． (2)掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等． (3)掌握三角函数图象变换，已知图象求参数，“五点法”作图． (4)加强对三角函数定义的理解，掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式． 5)掌握两角和与差的三角公式及二倍角公式． 考向预测： (1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题． (2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间． (3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式． (4)三角函数的概念与其他知识相结合； (5)以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质． 1．三角函数的图象与性质 图象 siny x= cosy x= tany x= 必备知识 函数性 质定义域 值域 最值 当 时， ； 当 时， ． 当 时， ； 当 时， ． 既无最大值 也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 2.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图 R R ,2x x k k ππ ≠ + ∈Ζ    [ ]1,1− [ ]1,1− R 2 2x k ππ= + ( )k ∈Ζ max 1y = 2 2x k ππ= − ( )k ∈Ζ min 1y = − ( )2x k kπ= ∈Ζ max 1y = 2x kπ π= + ( )k ∈Ζ min 1y = − 2π 2π π 2 ,22 2k k π ππ π − +   ( )k ∈Ζ 32 ,22 2k k π ππ π + +   ( )k ∈Ζ [ ]( )2 ,2k k kπ π π− ∈Ζ [ ]2 ,2k kπ π π+ ( )k ∈Ζ ,2 2k k π ππ π − +   ( )k ∈Ζ ( )( ),0k kπ ∈Ζ ( ) 2x k k ππ= + ∈Ζ ( ),02k k ππ + ∈Ζ   ( )x k kπ= ∈Ζ ( ),02 k k π  ∈Ζ  设 z＝ωx＋φ，令 z＝0、π 2、π、3π 2 、2π，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点连线可得． (2)函数 的图象经变换得到 的图象的两种途径 途径一：函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点 的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图象． 途径二：函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不 变），得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单 位长度，得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸 长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图象． (3)函数 的性质： ①振幅：A；②周期： ；③频率： ；④相位： ；⑤初相： ． 3．三角函数的奇偶性 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ＋π 2(k∈Z)； (2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ＋π 2(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 4．三角函数的对称性 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝ kπ＋π 2(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得； xy sin= )0,0()sin( >>+= ωϕω AxAy xy sin= ϕ )sin( ϕ+= xy )sin( ϕ+= xy ω 1 )sin( ϕω += xy )sin( ϕω += xy A )sin( ϕω += xAy xy sin= ω 1 xy ωsin= xy ωsin= ω ϕ )sin( ϕω += xy )sin( ϕω += xy A )sin( ϕω += xAy )0,0()sin( >>+= ωϕω AxAy ω π2=T π ω 2 =f ϕω +x ϕ(2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝ kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝kπ＋π 2(k∈Z)解得； (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由 ωx＋φ＝kπ 2 (k∈Z)解得． 【重要公式】 1．同角三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系 tanα＝sinα cosα. 2．诱导公式 (1)公式：Sα＋2kπ；Sπ±α；Sπ 2±α. (2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，α 当锐角看． 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ； (2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ； (3)tan(α±β)＝ tanα ± tanβ 1 ∓ tanαtanβ； (4)辅助角公式：asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ)＝ a2＋b2cos(α＋θ). 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sinαcosα； (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan2α＝ 2tanα 1－tan2α. 5．降幂公式(1)sin2α＝1－cos2α 2 ； (2)cos2α＝1＋cos2α 2 . 【易错警示】 1．忽视定义域 求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域． 2．重要图象变换顺序 在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量 x 而言 的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 3．忽视 A，ω 的符号 在求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意 A 和 ω 的符号，若 ω0 B. cos2α0 D. sin2α   3 πα = − 2cos2 cos 03 πα  = − sin 2 2sin cos 0α α α= >++= ωϕω AkxAy )2,0()sin()( πϕωϕω += xxf π 6 π )(xf ]2,0[ π 2 1− 2 3− 2 1 2 3 )2,0()sin()( πϕωϕω += xxf πω π =2 2=ω )2sin()( ϕ+= xxf )(xf 6 π )32sin(])6(2sin[)( ϕπϕπ ++=++= xxxf )(3 Zkk ∈=+ πϕπ 高频考点、热点题型强化因为 ，所以 ，所以函数 又因为 ，所以 ，故当 ，即 x=0 时，函数 取得最小值 .故选 B. 【备考策略】 解决三角函数图像变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： （1）定函数：一定要看准是将哪个函数的图像变换得到另一个函数的图像. （2）变同名：函数的名称要一样. （3）选方法：即选择变换方法.要注意：对于函数 的图像，向左平移 个单位长度得 到的是函数 的图象，而不是函数 的图像. 【类比演练】（1）函数 y=cos (2x+ )(-π≤ = ωωxy ϕ )(sin ϕω += xy )sin( ϕω += xy ϕ ϕ π 2 π 3 ϕ ϕ π 2 π 2 ϕ ϕ ϕ π 2 ϕ π 2 π 3 ϕ 5π 6 ϕ ϕ 5π 6 6 5π )0()sin()( >+= ωϕωxxf 3 π 6 π 3 π )3sin(])3(sin[ ϕωπωϕπω ++=++= xxy把 f(x)的图象向右平移 个单位所得的图象为 ， 根据题意可得 和 的图象重合, 故 求得 ω=4k,故 ω 的最小值为 4. 答案:4 考点二 求函数 的图像的周期性、单调性、对称性 【典例】已知向量 ，设函数 ，则下列关于函数 的性 质的描述正确的是（ ） A.图像关于直线 对称 B.图像关于点 对称 C.周期为 D.在 上单调递增 【解析】由题意得 ， 当 时， ，所以函数 的图像不关于直线 对称 ； 当 时， ，所以函数 的图像关于点 对称； 由 的解析式易知函数 的最小正周期 ； 当 时， ，所以函数 在在 上单调递增. 故选 D. 【备考策略】 1、周期的计算公式: 6 π )6sin(])6(sin[ ϕωπωϕπω +−=+−= xxy )3sin( ϕωπω ++= xy )6sin( ϕωπω +−= xy ϕωππϕωπ +−=+ 623 k )0,0()sin( >>+= ωϕω AxAy )2sin,1(),3,cos2( 2 xnxm == nmxf ⋅=)( )(xfy = 12 π=x )0,12 5( π π2 )0,3( π− 1)62sin(21sin32cossin3cos2)( 2 ++=++=+= π xxxxxxf 12 π=x 13sin)62sin( ±≠=+ ππ x )(xf 12 π=x 12 5π=x 11)62sin(2,0)62sin( =++=+ ππ xx )(xf )1,12 5( π )(xf )(xf ππ == 2 2T )0,3( π−∈x )6,2(62 πππ −∈+x )(xf )0,3( π−函数 的周期为 , 函数 的周期为 求解. 2、奇偶性的判断方法: 三角函数中奇函数一般可化为 或 的形式， 而偶函数一般可化为 的形式. 3、解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心. 方法：整体处理法、代入验证法 对于函数 ,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中 心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线 或点 是否是函数的对称轴或对称中心时,可通 过检验 的值进行判断. 4、确定函数 单调区间的方法 采用“换元”法整体代换,将‘ ’看作一个整体,可令“ ”,即通过求 的单调区间而求出 函数的单调区间.若 ,则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数,再求单调区间. 【类比演练】已知函数 ,若将函数 的图象向右平移 个单位后关于 y 轴对称,则下列结论中不正确的是(　　) A. B. 是 图象的一个对称中心 C. D. 是 图象的一条对称轴 【解析】 函数 的图象向右平移 个单位,可得 ， 且 的图象关于 y 轴对称,所以 ， )0()cos(),sin( >+=+= ωϕωϕω xAyxAy ω π2=T )0()tan( >+= ωϕωxAy ω π=T xAy ωsin= xAy ωtan= bxAy += ωcos )0()cos(),sin( >+=+= ωϕωϕω xAyxAy 0xx = )0,( 0x )( 0xf )0,0()sin( >>+= ωϕω AxAy ϕω +x ϕω += xz zAy sin= 0A π 3 2 3 2π 9 π 6 π 3 3 4 π 3 5π 12 2π ω π 3 π 3 ϕ ϕ 2π 3 ϕ π 3 π 3 ϕ )0,0( >> ωA ω ϕ ϕ ϕ )cos()( ϕω += xxf ϕω,,AA. B. C. D. 【解析】.由题图知,周期 T= ,A=1 所以 ,所以ω=π. 由 ,得 ,不妨取 .故选 A. （2）已知函数 f(x)=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0,- < < ),则函数 g(x)=f(2x-1)的单调递增区间是(　　) A. [4k-1,4k+1](k∈Z) B. [4k+1,4k+3](k∈Z) C. [8k-2,8k+2](k∈Z) D. [8k+2,8k+6](k∈Z) 【解析】显然 A=3, =7-3=4,得 ω= , 所以 f(x)=3sin( x+ ),又 f(5)=3sin( + )=-3,得 = , 所以 f(x)=3sin( x+ ),所以 g(x)=3sin[ (2x-1)+ ]=3sin , 由不等式 2kπ- ≤ ≤2kπ+ ,k∈Z, 解得 4k-1≤x≤4k+1,k∈Z, 即函数 g(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z).故选 A. 考点四 三角恒等变换 【典例】（1）已知 cos（α+ ）-sin α= ,则 sin（α+ ）的值是(　 　) A.- B.- C. D. 41 ππ，， 41 ππ，，− 421 π，， 41 ππ −，， 24 1-4 52 =）（ 22 =ω π Zkk ∈+=+× ,224 1 ππϕπ Zkk ∈+= ,24 ππϕ 4 πϕ = ϕ π 2 ϕ π 2 2 T π 4 π 4 ϕ 5π 4 ϕ ϕ π 4 π 4 π 4 π 4 π 4 π 2 x π 2 π 2 x π 2 π 6 4 3 5 11π 6 2 3 5 4 5 2 3 5 4 5【解析】cos(α+ )-sin α= ⇒ cos α- sin α= ⇒ ( cosα- sin α)= ⇒sin( -α)= . sin(α+ )=sin[2π+(α- )]=sin(α- )=-sin（ -α）=- . 故选 B. （2）已知 sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于(　　) A. B. C. D. 【解析】因为 α,β 均为锐角,所以- 0,所以 00,所以 0