第十六章 二次根式
教学备注
学生在课前完成自主学习部分
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
学习目标：1.理解二次根式的概念；
2. 掌握二次根式有意义的条件；
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.
难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.
自主学习
一、知识链接
1.什么叫作平方根？
2.什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？
二、新知预习
1. 用带根号的式子填空:
(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 m；若面积为S m2，则边长为______ m．
图
图
(2) 如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．
2.自主归纳：
（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “____”称为二次根号.
（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.
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教学备注
配套PPT讲授
1.情景引入
（见幻灯片3-8）
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片9-16）
三、自学自测
1.下列各式中是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.二次根式有意义的条件是_____________.
四、我的疑惑
____________________________________________________________
课堂探究
一、 要点探究
探究点1：二次根式的意义及有意义的条件
问题1 分别表示什么意义？
问题2 这些式子有什么共同特征？
要点归纳：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “”称为_______.
典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0.
例2 (教材P2例1变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥
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0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
教学备注
配套PPT讲授
3.探究点2新知讲授
（见幻灯片17-22）
【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
针对训练
1. 下列各式:一定是二次根式的个数有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2. (1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________;
(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
探究点2：二次根式的双重非负性
问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；
（2）表示一个数或式的算术平方根，可知_____0.
典例精析
例3 若，求a-b+c的值.
方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
例4 已知y=,求3x+2y的算术平方根.
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教学备注
配套PPT讲授
4.课堂小结（见幻灯片29）
5.当堂检测
（见幻灯片23-28）
【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．
方法总结:若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
针对训练
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
二、课堂小结
二次根式的概念
一般地，我们把形如的式子叫作___________. “”称为二次根号，根指数为_____,可省略.
二次根式有意义的条件
被开方数（式）为_________,即有意义 a≥0.
二次根式的非负性
双重非负性：
当堂检测
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
2. 式子有意义的条件是 （ ）
A. x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
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教学备注
配套PPT讲授
5.当堂检测
（见幻灯片23-28）
5. (1)若二次根式有意义，求m的取值范围．
(2) 无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．
6.若x，y是实数，且y＜ ,求的值.
拓展提升
7.先阅读，后回答问题：
当x为何值时，有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0，由乘法法则得
解得x≥1 或x≤0.即当x≥1 或x≤0时，有意义.
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？
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