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专题 18 全等形和全等三角形
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点 1 全等三角形及其性质
全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形.
特征：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。
全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 2
小结：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对
应角.
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置
上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
1．（2017·四川中考模拟）已知四边形 ABCD 各边长如图所示，且四边形 OPEF≌四边形 ABCD．则 PE 的长为
（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】D
【详解】
∵四边形 OPEF≌四边形 ABCD
∴PE=BC=10，
故选 D.
2．（2019·福建中考模拟）如图，若 △ MNP≌ △ MEQ，则点Q应是图中的（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【详解】
∵△MNP≌△MEQ，3
∴点 Q 应是图中的 D 点，如图，
故选：D．
3．（2018·广西中考模拟）下列说法中不正确的是（ ）
A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形能重合 D．全等三角形一定是等边三角形
【答案】D
【详解】
根据全等三角形的性质可知 A，B，C 命题均正确，故选项均错误；
D.错误，全等三角也可能是直角三角，故选项正确.
故选 D.
考查题型一 利用全等三角形性质求线段与角
1．（2019·武冈市第七中学中考模拟）如图，三角形纸片 ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点 B 的
直线折叠这个三角形，使顶点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD，则△AED 的周长为（ ）
A．9cm B．13cm C．16cm D．10cm
【答案】A
【解析】
解：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE=7cm．
∵AB=10cm，BC=7cm，∴AE=AB﹣BE=3cm．
△AED 的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm）．
故选 A．4
2．（2017·江苏南京溧水孔镇中学中考模拟）如图，△ABC≌△DEF，点 A 与 D，B 与 E 分别是对应顶点，且
测得 BC=5cm，BF=7cm，则 EC 长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【详解】
解：∵△ABC≌△BAD，
∴EF=BC=5cm，
∵BF=7cm，BC=5cm，
∴CF=EF-CF=3 cm，
故选 C．
3．（2016·广东中考模拟）如图，△ACB≌△A'CB',∠ACA′=30°，则∠BCB′的度数为( )
A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【详解】
∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′C′B′，
∴∠ACB-∠A′CB=∠A′C′B′-∠A′CB，
即∠BCB′=∠ACA′，
又∠ACA′=30°，
∴∠BCB′=30°，
故选：B．
4．（2019·沂源县中庄中学初一月考）如图，点 B，C，D 在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△5
CDE,AB=6,BC=8,CE=10.
（1）求△ABC 的周长；
（2）求△ACE 的面积.
【答案】（1）24；（2）50
【详解】
解：（1））∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE
∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=24
（2）∵△ABC≌△CDE
∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE
又∠B=90°
∴∠ACB+∠BAC=90°
∴∠ACB+∠DCE=90°
∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°
∴△ACE 的面积=1
2 × AC × CE = 50
考查题型二 利用全等三角形性质证明线段、角相等
1．（2019·湖北黄石十四中初二期中）如图，点 E 在 AB 上，△ABC≌△DEC，求证：CE 平分∠BED．
【答案】见解析
【详解】
∵△ABC≌△DEC，
∴∠B=∠DEC，BC=EC，6
∴∠B=∠BEC，
∴∠BEC=∠DEC，
∴CE 平分∠BED．
2．（2018·颍上县第五中学初二期中）若△ABC≌△DCB，求证：∠ABE=∠DCE.
【答案】见解析
【详解】
证明：∵△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC
∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB
即∠ABE=∠DCE
知识点 2：全等三角形的判定（重点）
一般三角形 直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
② 全等三角形周长、面积相等．
证题的思路（重点）：7
考查题型三 已知一边一角（若边为角的对边，找任意角 AAS）
1．（2018·四川中考模拟）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证:AC=AD．
【答案】见解析
【解析】
详解：∵∠1=∠2
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC
∴∠BAC=∠EAD
在 ΔABC 和 ΔAED 中{∠BAC = ∠EAD
∠C = ∠D
AB = AE
∴ΔABC≌ΔAED（AAS)
∴AC=AD
2．（2014·北京中考模拟）已知：如图，E 是 AC 上一点，AB=CE，AB∥CD，∠ACB =∠D．求证：BC =ED．
【答案】证明见解析.
【详解】8
∵AB∥CD，∴∠A=∠ECD.
在△ABC 和△ECD 中，∵∠A＝∠ECD，∠ACB＝∠D，AB＝CE，
∴△ABC≌△ECD（AAS）.
∴BC=DE．
3．（2018·四川中考模拟）已知，如图，E、F 分别为□ABCD 的边 BC、AD 上的点，且∠1=∠2,.求证：
AE=CF.
【答案】详见解析
【详解】
∵四边形 ABCD 为平行四边形
∴∠B=∠D，AB=CD
在△ABE 与△CDF 中，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=CD
∴△ABE≌△CDF
∴AE=CF
4．（2016·福建中考模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE．求证：△ACD≌△CBE．
【答案】证明详见解析.
【详解】
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠E=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∵∠B+∠BCE=90°，
∴∠B=∠ACD，9
在△BEC 和△CDA 中，
∠ADC=∠E=90°，∠B=∠ACD，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．
考查题型四 已知一边一角（边为角的邻边（找已知角的另一边 SAS））
1．（2016·四川中考真题）如图，C 是线段 AB 的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．
【答案】见解析
【详解】
∵C 是线段 AB 的中点，
∴AC=CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD=∠B，
在△ACD 和△CBE 中，
∵AC=CB，∠ACD=∠B，CD=BE，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠D=∠E．
2．（2018·云南中考模拟）如图，点 E，F 在 AB 上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF．求证：∠C＝∠D．
【答案】证明见解析
【详解】
证明：∵AE＝BF，
∴AE+EF＝BF+EF，
∴AF＝BE，
在△ADF 与△BCE 中，10
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴∠C＝∠D．
3．（2019·辽宁中考真题）如图，点E，F在BC上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠C，求证：AF = DE．
【答案】见解析；
【详解】
证明：∵BE = CF，
∴BE + EF = CF + EF，即BF = CE，
在ΔABF和ΔDCE中，
{ AB = DC
∠B = ∠C
BF = CE
，
∴ΔABF≌ΔDCE
∴AF = DE．
考查题型五 已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的对角 AAS））
1．（2013·浙江中考真题）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数。
【答案】见解析（2）∠EBC=25°
AD BC
A B
AF BE
=
∠ = ∠
=
(SAS)11
【详解】
解（1）证明：∵在△ABE 和△DCE 中，{
∠A = ∠D
∠AEB = ∠DEC
AB = DC
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°
2．（2016·广西中考模拟）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是 E、F，并
且 DE=DF．求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形 ABCD 是菱形．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=900。
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C。
在△AED 和△CFD 中： ∵{∠AED = ∠CFD
∠A = ∠C
DE = DF
，
∴△AED≌△CFD（AAS）。
（2）∵△AED≌△CFD，∴AD=CD。
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 ABCD 是菱形。
3．（2019·陕西中考模拟）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线，且
与对角线 AC 分别相交于点 E、F．求证：AE=CF．12
【答案】见解析.
【详解】
证明：∵平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠ACB=∠CAD．
∵BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线，
∴∠BEC=∠ABE+∠BAE=∠FDC+∠FCD=∠DFA，
在△BEC 与△DFA 中，
∵{∠BEC＝∠DFA
∠ACB＝∠CAD
AD＝BC
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴AF=CE，
∴AE=CF．
考查题型六 已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的另一角 ASA））
1．（2016·湖北中考真题）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由 A 步行到达 B 处的过程中,通过隔离带
的空隙 O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:
如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD 相交于 O,OD⊥CD,垂足为 D,已知 AB=20 米,请根据上述
信息求标语 CD 的长度.
【答案】20 米.
【解析】
试题解析：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，
∴∠ABO=90°，即 OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OB，
在△ABO 与△CDO 中，13
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD=AB=20（m）
2．（2015·北京中考模拟）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；
求证：BC=DC．
【答案】见解析
【详解】
证明：∵∠BCE=∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠ECD.
在△ABC 和△EDC 中，
∵{
∠ACB = ∠ECD
AC = EC
∠A = ∠E
，
∴△ABC≌△EDC（ASA）.
∴BC=DC
3．（2016·湖北中考模拟）如图，已知 EF∥MN，EG∥HN，且 FH=MG，求证：△EFG≌△NMH．
【答案】证明见解析
【解析】
∵EF∥MN, EG∥HN,
∴∠F=∠M, ∠EGF=∠NHM.14
∵FH=MG，
∴FG=MH.
在△EFG 和△NMH 中
∵∠F=∠M,
FG=MH
∠EGF=∠NHM，
∴△EFG≌△NMH（ASA）
考查题型七 已知两角，找两角的夹边 ASA
1．（2010·河北中考真题）如图，在△ABC 和△ADE 中，点 E 在 BC 边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D， AB＝
AD,
（1）试说明△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC＝75°，将△ADE 绕点 A 旋转一个锐角后与△ABC 重合，求这个旋转角的大小．
【答案】（1）、证明过程见解析；（2）、30°
【详解】
（1）∵∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠B=∠D，
∴△ABC≌△ADE.
（2）∵△ABC≌△ADE
∴AC=AE，
∴∠C=∠AEC=75°，
∴∠CAE=180°−∠C−∠AEC=30°，
∴△ADE 绕着点 A 逆时针旋转 30°后与△ABC 重合，
∴这个旋转角为 30°.
2．（2019·河北中考模拟）某风景区改建中，需测量湖两岸游船码头 A、B 间的距离，于是工作人员在岸边
A、B 的垂线 AF 上取两点 E、D，使 ED＝AE．再过 D 点作出 AF 的垂线 OD，并在 OD 上找一点 C，使 B、E、C
在同一直线上，这时测得 CD 长就是 AB 的距离．请说明理由．15
【答案】证明见解析.
【详解】
证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠A＝∠CDE＝90°，
又∵ED＝AE，∠AEB＝∠CED，
∴△ABE≌△CED(AAS)，
∴AB＝CD．
3．（2018·湖北中考模拟）如图，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，AD=AE．求证：BE=CD．
【答案】证明过程见解析
【详解】
∵BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ADB 和△AEC 中，
{∠ADB = ∠AEC
AD = AE
∠A = ∠A
∴△ADB≌△AEC（ASA）
∴AB=AC，
又∵AD=AE，
∴BE=CD．
考查题型八 已知两角，找任意一边 AAS 16
1．（2017·湖北中考模拟）如图，点 E，F 在 BC 上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF 与 DE 交于点 O．
(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF 的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明略
（2）等腰三角形，理由略
【详解】
证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF， 即 BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF 为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF 为等腰三角形．
2．（2019·山西中考真题）已知：如图，点 B，D 在线段 AE 上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠H.求证：BC=DH.
【答案】证明见解析.
【详解】
∵AD=BE，17
∴AD-BD=BE-BD，
即 AB=DE.
∵AC∥EH，
∴∠A=∠E，
在△ABC 和△EDH 中
{∠C = ∠H
∠A = ∠E
AB = DE
，
∴△ABC≌△EDH(AAS)，
∴BC=DH.
3．（2019·广西中考模拟）已知：如图，点 B、F、C、E 在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠DFC＝40°
【详解】
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝EC
∴BF+FC＝EC+CF，
即 BC＝EF，
在△ABC 和△DEF 中，
{∠A = ∠D
∠B = ∠E
BC = EF
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵∠A＝120°，∠B＝20°，
∴∠ACB＝40°，18
由（1）知△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴∠DFE＝40°，
∴∠DFC＝40°．
4．（2016·江苏中考模拟）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，CE⊥BD 于 E，AB=EC．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠EDC=65°，求∠ECB 的度数；
（3）若 AD=3，AB=4，求 DC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）40°；（3）2 5．
【解析】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC，
∵∠A=∠CEB=90°，
在△ABD 与△CEB 中，
{
∠A = ∠CEB
∠ADB = ∠EBC
AB = CE
，
∴△ABD≌△ECB；
（2）由（1）证得△ABD≌△ECB，
∴BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=65°，
∵∠DCE=90°-65°=25°，
∴∠ECB=40°；
（3）由（1）证得△ABD≌△ECB，
∴CE=AB=4，BE=AB=3，
∴BD=BC= 42 + 32 = 5，19
∴DE=2，
∴CD= 22 + 42 = 2 5．
考查题型九 已知两边，找夹角 SAS
1．（2013·湖北中考真题）如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
【解析】
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。
在△ABD 与△ACE 中，∵{
AB = AC
∠B = ∠C
BD = EC
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
∴AD=AE。
2．（2018·广东中考真题）如图，AB 与 CD 相交于点 E，AE＝CE，DE＝BE．求证：∠A＝∠C．
【答案】证明见解析．
【详解】
在△AED 和△CEB 中，
{ AE = CE
∠AED = ∠CEB
DE = BE
，
∴△AED≌△CEB（SAS），
∴∠A＝∠C（全等三角形对应角相等）．
3．（2019·江苏中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC,点 D、E 分别在 AB、AC 上，BD=CE，BE、CD 相交于点
0；
求证：（1）ΔDBC≅ΔECB
（2）OB = OC20
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【详解】
(1)∵AB=AC，
∴∠ECB=∠DBC，
在ΔDBC 与 ΔECB 中
{ BD = CE
∠DBC =
BC = CB ∠ECB，
∴ ΔDBC≅ΔECB；
(2)由(1) ΔDBC≅ΔECB，
∴∠DCB=∠EBC，
∴OB=OC.
4．（2018·江苏中考模拟）如图，在五边形 ABCDE 中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE 的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）80°．
【详解】
证明：（1）∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，21
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
在△ABC 和△AED 中，
{ BC = ED
∠ACB = ∠ADE
AC = AD
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
解：（2）当∠B=140°时，∠E=140°，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴五边形 ABCDE 中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．
5．（2019·河北中考模拟）如图，△BAD 是由△BEC 在平面内绕点 B 旋转 60°而得，且 AB⊥BC，BE＝CE，
连接 DE．
（1）求证：△BDE≌△BCE；
（2）试判断四边形 ABED 的形状，并说明理由．
【答案】证明见解析.
【详解】
（1）证明：∵△BAD 是由△BEC 在平面内绕点 B 旋转 60°而得，
∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，
∵AB⊥EC，
∴∠ABC=90°，
∴∠DBE=∠CBE=30°，
在△BDE 和△BCE 中，
∵{ DB = CB
∠DBE = ∠CBE
BE = BE
，
∴△BDE≌△BCE；
（2）四边形 ABED 为菱形；22
由（1）得△BDE≌△BCE，
∵△BAD 是由△BEC 旋转而得，
∴△BAD≌△BEC，
∴BA=BE，AD=EC=ED，
又∵BE=CE，
∴BA=BE=ED= AD
∴四边形 ABED 为菱形．
考查题型十已知两边，找直角 HL
1．（2018·江苏中考真题）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB 相交于点 O．求证：OB=OC．
【答案】证明见解析.
【解答】证明：在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中
{BD = CA
BC = CB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．
2．（2019·江苏中考模拟）如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点 E，F，
且 BE=CF，求证：AD 是△ABC 的角平分线．
【答案】见解析
【详解】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE△DCF 是直角三角形．23
在 Rt△BDE 与 Rt△DCF 中，
{ BD = DC
BE = CF ，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD 是△ABC 的角平分线．
3．（2019·福建省诏安县霞葛初级中学中考模拟）如图，D、C、F、B四点在一条直线上， ，
AC ⊥ BD，EF ⊥ BD，垂足分别为点C、点F，CD = BF．
求证：
（1）ΔABC≅ΔEDF；
（2）AB//DE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【详解】
证明：
（1）∵AC ⊥ BD，EF ⊥ BD，
∴ΔABC和ΔEDF为直角三角形，
∵CD = BF，
∴CF + BF = CF + CD，即BC = DF，
在RtΔABC和RtΔEDF中，
{AB = DE
BC = DF，
∴RtΔABC≅RtΔEDF(HL)；
（2）由（1）可知ΔABC≅ΔEDF，
∴∠B = ∠D，
∴AB//DE．
考查题型十一 已知两边，找第三边 SSS
AB DE=24
1．（2018·四川中考模拟）如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：
AB∥DE．
【答案】详见解析.
【解析】
证明：由 BE＝CF 可得 BC＝EF，
又 AB＝DE，AC＝DF，
故△ABC≌△DEF（SSS），
则∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
2．（2018·广西中考真题）如图，点 A、D、C、F 在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F 的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）37°
【解析】
（1）∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且 AD=CF
∴AC=DF
在△ABC 和△DEF 中，
{AB = DE
BC = EF
AC = DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°25
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
3．（2019·辽宁中考模拟）已知：如图，点 A、D、C、B 在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：
AE∥BF．
【答案】证明见解析.
【解析】
∵AD=BC，∴AC=BD，
在△ACE 和△BDF 中，
{AC＝BD
AE＝BF
CE＝DF
，
∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠A=∠B，
∴AE∥BF；
知识点 3 角平分线
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。
考查题型十二 图中有角平分线，向两边作垂线
1.（2019·襄樊市月考）在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且
∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF．
【答案】证明见解析.
【详解】26
过 D 作 DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N，
即∠EMD=∠FND=90°，
∵AD 平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线性质），
∵∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，
∵∠AFD+∠NFD=180°，
∴∠MED=∠NFD，
在△EMD 和△FND 中
{∠MED = ∠DFN
∠DME = ∠DNF
DM = DN
，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE=DF．
2. （2019·襄樊市月考）在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且
∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF．
【答案】证明见解析.
【详解】
过 D 作 DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N，27
即∠EMD=∠FND=90°，
∵AD 平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线性质），
∵∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，
∵∠AFD+∠NFD=180°，
∴∠MED=∠NFD，
在△EMD 和△FND 中
{∠MED = ∠DFN
∠DME = ∠DNF
DM = DN
，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE=DF．
3．（2017·广东中考模拟）如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点 D，PD=6，则点 P 到
边 OB 的距离为_____．
【答案】6
【解析】
作 PE⊥OB 于 E，如图，
∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD=6，
即点 P 到边 OB 的距离为 6．
故答案为 6．
考查题型十三 角平分线加垂线，三线合一试试看28
1.如图，已知 AE⊥FE，垂足为 E，且 E 是 DC 的中点．
(1)如图①，如果 FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为 C，D，且 AD＝DC，判断 AE 是∠FAD 的角平分线吗？(不必
说明理由)
(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；
(3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．
【答案】（1）AE 是∠FAD 的角平分线（2）成立（3）成立
【详解】
（1）AE 是∠FAD 的角平分线；
（2）成立，如图，延长 FE 交 AD 于点 B，
∵E 是 DC 的中点，
∴EC=ED，
∵FC⊥DC，AD⊥DC，
∴∠FCE=∠EDB=90°，
在△FCE 和△BDE 中，
{∠FEC = ∠DEB
EC = ED
∠FCE = ∠EDB
,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，29
∴AF=AB，
∴AE 是∠FAD 的角平分线；
（3）成立，如图，延长 FE 交 AD 于点 B，
∵AD=DC，
∴∠FCE=∠EDB，
在△FCE 和△BDE 中，
{∠FEC = ∠DEB
EC = ED
∠FCE = ∠EDB
,
∴△FCE≌△BDE，
∴EF=EB，
∵AE⊥FE，
∴AF=AB，
∴AE 是∠FAD 的角平分线.
考查题型十四 角平分线平行线，等腰三角形来填
1.（2017 春赣州市期末）如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作 DE//BC，分别交
AB,AC 于点 D,E,若 AB=4，AC=3，则△ADE 的周长是_______________。
【答案】7
【解析】
解：∵BO 平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，30
∵DE∥BC，
∴∠CBO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=DO，
同理 OE=EC，
∴△ADE 的周长=AD+AE+ED=AB+AC=4+3=7．
故答案为：7．
2.（2018·江苏中考模拟）如图，AB∥CD，CB 平分∠ACD，∠ABC=35°，则∠BAE=__________度.
【答案】70
【详解】∵AB∥CD，∠ABC=35°，
∴∠BCD=∠B=35°，
∵CB 平分∠ACD，
∴∠BAE=2∠BCD=70°
故正确答案为：70.
考查题型十五 图形对折问题
1．（2017 丹阳市月考）如图 a 是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，
则图 c 中的∠CFE 的度数是____________°．
【答案】105°
【解析】
由图 a 知，∠EFC=155°.
图 b 中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图 c 中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°. 31
故答案为：105°.
2.（2019 道外区期末）如图 a 是长方形纸带（提示：AD∥BC），将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 GF 折叠成图
c．
（1）若∠DEF＝20°，则图 b 中∠EGB＝______，∠CFG＝______；
（2）若∠DEF＝20°，则图 c 中∠EFC＝______；
（3）若∠DEF＝α，把图 c 中∠EFC 用 α 表示为______；
（4）若继续按 EF 折叠成图 d，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了 9 次，
问图 a 中∠DEF 的度数是多少．
【答案】（1）40°，140°；（2）120°；（3）180°﹣3α；（4）18°．
【详解】
（1）∵长方形的对边是平行的，
∴∠BFE＝∠DEF＝20°，
∴∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝40°，
∴∠FGD＝∠EGB＝40°，
∴∠CFG＝180°﹣∠FGD＝140°；
故答案为：40°，140°；
（2）∵长方形的对边是平行的，
∴∠BFE＝∠DEF＝20°，
∴图 a、b 中的∠CFE＝180°﹣∠BFE，以下每折叠一次，减少一个∠BFE，
∴图 c 中的∠EFC 度数是 120°；
故答案为：120°；
（3）由（2）中的规律，可得∠CFE＝180°﹣3α．32
故答案为：180°﹣3α；
（4）设图 a 中∠DEF 的度数是 x°，
由（2）中的规律，可得 180﹣(9+1)x＝0．
解得：x＝18．
故答案为：18°．
考查题型十六 角平分线与实际问题
1．（2019·深圳市文锦中学中考模拟）已知：如图所示，三条公路两两分别相交于点 A、B、C，在甲区内求
作一点 P，使点 P 到三条公路的距离都相等。
【答案】答案见解析
【详解】
解：点 P 位置如图所示：
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