2020年中考数学一轮复习基础考点专题07不等式（组）（含解析）.docx

1 专题 07 不等式（组） 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 不等式的有关概念和性质 不等式的定义：用符号“ ”或“ ”表示大小关系的式子，叫作不等式.像 a 3 这样用符号“ ”表示< > ≠ ≠2 不等关系的式子也是不等式。 【注意】 1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系。 2.常用的不等号有“ ”五种.“ ”“ ”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边 的大小；“ ”“ ”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或 等于）；“ ”表示左右两边不相等。 3.在不等式 a>b 或 ab，则 a+c>b+c，a-c>b-c。 基本性质 2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于 0 的整式，不等号方向不变，即 若 a>b,c>0，则 ac>bc（或a c > b c） 基本性质 3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的整式，不等号方向改变，即 若 a>b,cc，则 a>c。 基本性质 6：如果 ， ，那么 . 【注意】 a a a a , , , ,> < ≤ ≥ ≠ > < ≥ ≤ ≠ x a> x a< x a≥ x a≤ a b> c d> a c b d+ > +3 1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质 2 和性质 3 的区别，当不等式两边乘（或 除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。 2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。 不等式性质与等式性质的相同和不同点： 相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子 不同点： 1、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立 2、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向 发生改变； 解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。 【典型例题】 1．（2019·阜宁县容山中学初一期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A．x < y B． C． D． 【答案】D 【详解】 A、是二元一次不等式，故错误； B、是二元二次不等式，故选项错误 C、含有分式，不是一元一次不等式，故选项错误； D、是一元一次不等式， 故选 D. 2．（2019·重庆市南坪中学校初二期中）下列各式中，是一元一次不等式的有（ ） ① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】A 【详解】 ① 是一元一次不等式；② 是一元二次不等式；③ 是分式；④ 是二元 一次不等式；⑤ 是一元一次不等式；⑥ 是二元一次不等式，故正确的有两个故选 A. 【考查题型】 考查题型一 不等式性质的应用 2 2 0a b+ > 1 1x > 3 4 x − 4 03 < 5x < ( 5) 5x x − < 1 5x < 2 5x y y+ < + 2 5a − < 3 yx ≤ 5x < ( 5) 5x x − < 1 5x < 2 5x y y+ < + 2 5a − < 3 yx ≤4 1．（2019·四川中考真题）若 ，下列不等式不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：A、不等式的两边都加 3，不等号的方向不变，故 A 错误； B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故 B 错误； C、不等式的两边都除以 3，不等号的方向不变，故 C 错误； D、如 ；故 D 正确； 故选：D． 2.（2019·浙江中考真题）已知四个实数 a，b，c，d，若 a>b，c>d，则（ ） A．a+c>b+d B．a-c>b-d C．ac>bd D． 【答案】A 【详解】 A. ∵a>b，c>d，∴ a+c>b+d，正确； B.如 a=3,b=1,c=2，d=-5 时， a-c=1，b-d =6，此时 a-c 4a c = − 1b d = − a b c d 或 ≠ 1 3x + > 4 02 y− > 0x y− > 2 5 3xx + ≥6 一元一次方程 一元一次不等式 解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数 （或式子），方程的解不变 方程的两边乘（或除以）同一个 不为零的数，方程的解不变 不等式两边加（或减）同一个数（或式 子），不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变 解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④ 合并同类项；⑤未知数的系数化 为 1 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同 类项；⑤未知数的系数化为 1 在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除 以）是负数，不等号要改变方向 解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解 【典型例题】 1．（2018·广东中考模拟）不等式 2x－5≥－1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：不等式 2x-5≥-1 的解集为 x≥2． 故选 B． 2．（2019·太原市第五十三中学初二期中）用不等式表示图中的解集，其中正确的是（　　） A．x≥-2 B．x≤-2 C．x＜-2 D．x＞-2 【答案】D 【详解】 解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示-2 的点是空心圆点 ∴x＞-2 故选：D． 3．（2019·河北初一期末）已知2a + 3x = 6，要使x是负数，则a的取值范围是（ ） A．a > 3 B．a < 3 C．a < -3 D． -3 < a < 3 【答案】A7 【详解】 ∵2a + 3x = 6 ∴x=6 - 2a 3 ∵x是负数， ∴6 - 2a 3 ＜0 解得a > 3 故选 A. 【考查题型汇总】 考查题型二 求一元一次不等式的特解的方法 1．（2019·江苏中考真题）不等式 的非负整数解有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【详解】 解： ， 解得： ， 则不等式 的非负整数解有：0，1，2，3 共 4 个． 故选：D． 2．（2019·内蒙古中考模拟）不等式 3（x﹣1）≤5﹣x 的非负整数解有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】 解不等式得：3x﹣3≤5﹣x，4x≤8，x≤2，所以不等式的非负整数解有 0、1、2 这 3 个，故答案选 C． 3．（2017·广东中考模拟）如图，直线 与 的交点的横坐标为 ，则关于 的不等式 的整数解为（ ）. 1 2x − ≤ 1 2x − ≤ 3x ≤ 1 2x − ≤ y x m= − + ( )4 0y nx n n= + ≠ 2− x 4 0x m nx n− + > + >8 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 当 时，对于 ，则 ．故 的解集为 ． 与 的交点的横坐标为 ，观察图象可知 的解集为 ． 的解集为 ． 为整数， ． 4．（2019·内蒙古中考模拟）不等式 的最小整数解是__． 【答案】0 【详解】 解 的解集为 x＞-1， ∴最小整数解为 0 考查题型三 确定不等式中字母的取值范围的方法 1．（2019·黑龙江中考真题）已知 x=4 是不等式 ax-3a-1＜0 的解，x=2 不是不等式 ax-3a-1＜0 的解，则实 数 a 的取值范围是____． 【答案】a≤-1. 【详解】 解：∵x=4 是不等式 ax-3a-1＜0 的解， ∴4a-3a-1＜0， 解得：a＜1， ∵x=2 不是这个不等式的解， 1− 5− 4− 3− 0y = ( )4 0y nx n n= + ≠ 4x = − 4 0nx n+ > 4x > − y x m= − + ( )4 0y nx n n= + ≠ 2− 4x m nx n− + > + 2x < − 4 0x m nx n∴− + > + > 4 2x− < < − x 3x∴ = − 3 1 22 x − > − 3x 1 22 − > −9 ∴2a-3a-1≥0， 解得：a≤-1， ∴a≤-1， 故答案为：a≤-1． 2．（2019·四川中考真题）关于 的不等式 只有 2 个正整数解，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：解不等式 2x+a≤1 得： , 不等式有两个正整数解，一定是 1 和 2， 根据题意得： 解得：-5＜a≤-3． 故选：C． 3．（2012·江苏中考模拟）已知关于 x 的不等式 x≥a-1 的解集如图所示,则 a 的值为__. 【答案】0 【解析】 由图可得 ， , 考查题型四 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法 1．（2019·河南中考模拟）若不等式组 的解集是﹣1＜x≤1，则 a＝_____，b＝_____． 【答案】-2 -3 【详解】 解：由题意得： 解不等式 ① 得: x>1+a , 解不等式②得:x≤ x 2 1x a+ ≤ a 5 3a− < < − 5 3a− ≤ < − 5 3a− < ≤ − 5 3a− ≤ ≤ − 1 2 ax −  12 32 a−   + ≥ 1 3 0 x a bx − >  + ≥ ① ② 3 b −10 不等式组的解集为: 1+a＜x≤ 不等式组的解集是﹣1＜x≤1, ..1+a=-1, =1, 解得:a=-2,b=-3 故答案为: -2, -3. 知识点三 解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式 组的解集。 不等式组解集的确定方法： 【注意】 1、 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。 2、 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。 解一元一次不等式组的一般步骤： 1. 求出不等式组中各不等式的解集 2. 将各不等式的解决在数轴上表示出来。 3. 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 【考查题型汇总】 考查题型五 一元一次不等式组的解集的确定方法  3 b −  ∴ 3 b −11 1．（2018·湖南中考真题）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解不等式 x+2＞0，得：x＞-2， 解不等式 2x-4≤0，得：x≤2， 则不等式组的解集为-2＜x≤2， 将解集表示在数轴上如下： 故选 C． 2．（2019·山东中考模拟）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 详解：解不等式组 得－3＜x≤2， 在数轴上表示为： 故选 D. 3．（2019·江苏中考模拟）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　） 2 0 2 4 0 x x + >  − ≤ 2 0 11 03 x x − ≤ + > 2 0 11 03 x x − ≤ > ＋12 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为 ， 故选 D． 4．（2019·广东中考模拟）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∵解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥-1， ∴不等式组的解集为-1≤x＜1， 在数轴上表示为： ， 故选 A． 考查题型六 求一元一次不等式组的整数解的方法 1．（2019·台湾中考真题）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买 盒 蛋糕，花费的金额不超过 元．若他将蛋糕分给 位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少 元购买蛋糕？（　　） 2 3 x x ≥  > − 2 3 x x ≤  < − 2 3 x x ≥  < − 2 3 x x ≤  > − 2 3 x x ≤  −  2 1 3 3 1 2 x x +  + ≥ − ＜ 2 1 3 3 1 2 x x +  + ≥ − ＜ ① ② 10 2500 7513 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：设阿慧购买 盒桂圆蛋糕，则购买 盒金爽蛋糕，依题意有 ， 解得 ， 是整数， ， （元）． 答：阿慧花 元购买蛋糕． 故选：D． 2．（2019·四川中考真题）红星商店计划用不超过 4200 元的资金，购进甲、乙两种单价分别为 60 元、100 元的商品共 50 件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 10 元、20 元，两种商品均售完．若所 获利润大于 750 元，则该店进货方案有( ) A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种 【答案】C 【详解】 解：设该店购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件， 根据题意，得： ， 2150 2250 2300 2450 x ( )10 x− ( ) ( ) 350 200 10 2500 12 6 10 75 x x x x  + − ≤ + − ≥ 1 12 32 3x≤ ≤ x 3x∴ = ( )350 3 200 10 3× + × − 1050 1400= + 2450= 2450 x ( )50 x− ( ) ( ) 60 100 50 4200 10 20 50 750 x x x x  + − ≤ + − >14 解得： ， ∵ 为整数，∴ 、21、22、23、24， ∴该店进货方案有 5 种， 故选：C． 3．（2019·浙江中考模拟）如图，等腰三角形 ABC 的周长为 20cm，底边 BC 长为 y（cm），腰 AB 长为 x （cm）. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求 x 的取值范围； （3）腰长 AB=3 时，底边的长． 【答案】（1）y＝20﹣2x；（2）5＜x＜10；（3）14． 【详解】 （1）∵等腰三角形的腰长为 x，底边长为 y，周长为 20， ∴y＝20﹣2x， （2）{2x > 20 - 2x 20 - 2x > 0 ， 解得：5＜x＜10． 所以 x 的取值范围为 5＜x＜10. （3）将x = 3代入 y＝20﹣2x 得y = 14，所以底边的长为 14. 考查题型七 求一元一次方程组中的待定字母的值 1．（2017·内蒙古中考模拟）若不等式组{2x - a < 1 x - 2b > 3的解集为﹣1＜x＜1，那么(a+1)(b﹣1)的值等于 _____． 【答案】4 【解析】 20 25x≤ < x 20x =15 先解不等式组，再对照已知解集 -1 < x < 1，即可求出 a、b 的值． 解不等式组，得x < a + 1 2 ,且 x > 3 + 2b对照已知解集 -1 < x < 1有 { a + 1 2 = 1 3 + 2b = -1 解得{ a = 1 b = -2 ∴ (a + 1)(b - 1) = (1 + 1)( -1 - 2) = -6 2．（2012·四川中考真题）如果关于 x 的不等式组：{3x - a ≥ 0 2x - b ≤ 0，的整数解仅有 1，2，那么适合这个不 等式组的整数 a，b 组成的有序数对（a，b）共有___________个． 【答案】6 【详解】 {3x - a ≥ 0① 2x - b ≤ 0②， 由①得：x ≥ a 3 ；由②得：x ≤ b 2 ． ∵不等式组有解，∴不等式组的解集为：a 3 ≤ x ≤ b 2 ． ∵不等式组整数解仅有 1，2，如图所示： ， ∴0＜a 3 ≤1，2≤b 2 ＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6． ∴a=1，2，3，b=4，5． ∴整数 a，b 组成的有序数对（a，b）共有 3×2=6 个． 3．（2018·四川中考真题）若不等式组{ x - a > 2 b - 2x > 0的解集为 ，则(a + b)2009 = ________. 【答案】-1 【解析】 由不等式得 x＞a+2，x＜1 2b， ∵-1＜x＜1， ∴a+2=-1，1 2b=1 ∴a=-3，b=2， ∴（a+b）2009=（-1）2009=-1． 故答案为-1． 1 1x− < 3； 解②得，x>m， ∵不等式组 的解集是 x>3， 则 m⩽3. 故选：C. 2．（2019·四川中考真题）若关于 的代等式组 恰有三个整数解，则 的取值 范围是（　　） A． B． C． D． 或 【答案】B 【详解】 解不等式 ，得： ， 解不等式 ，得： ， ∵不等式组恰有三个整数解， ∴这三个整数解为 0、1、2， ∴ ， 8 4 1x x x m + < −  > 8 4 1x x x m + < −  > ① ② 8 4 1x x x m + < −  > x 1 02 3 3 5 4 4( 1) 3 x x x a x a + + >  + + > + + a 31 2a 1 02 3 x x ++ > 2 5x > − ( )2 5 4 4 1 3x a x a+ + > + + 2x a< 2 2 3a< ≤17 解得 ， 故选：B． 3.若关于 x 的一元一次不等式组 有解，则 m 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解 ， ∵不等式组有解，∴2m＞2﹣m. ∴ .故选 C. 知识点四 列一元一次不等式（组）解应用题 列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”， 如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等. （2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量. （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式. （4）解：解出所列不等式的解集. （5）验：检验答案是否符合题意. （6）答：写出答案. 在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难 点.以上过程可简单表述为: . 【考查题型汇总】 考查题型九 利用一元一次不等式（组）解决实际问题的方法 1．（2019·湖北中考真题）某县有 A、B 两个大型蔬菜基地，共有蔬菜 700 吨.若将 A 基地的蔬菜全部运往 甲市所需费用与 B 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从 A、B 两基地运往甲、乙两市的运费单价如下 表: 31 2a< ≤ x 2m2 −  + 2m> 3 − 2m 3 ≤ 2m> 3 2m 3 ≤ − x 2m2 m − ⇒ + −  2m> 3 → →分析 求解 抽象 检验问题 不等式 解答18 （1）求 A、B 两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？ （2）现甲市需要蔬菜 260 吨，乙市需要蔬菜 440 吨.设从 A 基地运送 吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使 总运费最少？ 【答案】（1）A、B 两基地的蔬菜总量分别为 300 吨和 400 吨；（2）当 A 基地运 300 吨到乙市，B 基地运 260 吨到甲市，B 基地运 140 吨到乙市时，总运费最少为 14760 元. 【详解】 （1）设 A、B 两基地的蔬菜总量分别为 吨、 吨. 根据题意得： 解得： ， 答：A、B 两基地的蔬菜总量分别为 300 吨和 400 吨. （2）由题可知： ∴ ∵ . ∵4>0， ∴ 随 的增大而增大， ∴ =14760. 答：当 A 基地运 300 吨到乙市，B 基地运 260 吨到甲市，B 基地运 140 吨到乙市时，总运费最少为 14760 元. 2．（2019·辽宁中考模拟）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的 2.5 倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ m x y 700 20 15 x y x y + =  = 300 400 x y =  = 0 260 0 300 0 400 (260 ) 0 m m m m ≥  − ≥ − ≥  − − ≥ 0 260m≤ ≤ ( )20 25(300 ) 15(260 ) 24 400 260w m m m m = + − + − + − −  4 14760m= + w m minw19 （2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且用于购买甲、乙两种图书的 总经费不超过 1060 元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？ 【答案】（1）乙图书每本价格为 20 元，则甲图书每本价格是 50 元；（2）该图书馆最多可以购买 28 本乙 图书． 【详解】 解：（1）设乙图书每本价格为 元，则甲图书每本价格是 元， 根据题意可得： ， 解得： ， 经检验得： 是原方程的根， 则 ， 答：乙图书每本价格为 20 元，则甲图书每本价格是 50 元； （2）设购买甲图书本数为 ，则购买乙图书的本数为： ， 故 ， 解得： ， 故 ， 答：该图书馆最多可以购买 28 本乙图书． 考查题型十一 方程组与不等式组相结合解决实际问题 1．（2018·山东中考模拟）今年 3 月 12 日植树节期间，学校预购进 A，B 两种树苗．若购进 A 种树苗 3 棵，B 种树苗 5 棵，需 2100 元；若购进 A 种树苗 4 棵，B 种树苗 10 棵，需 3800 元． (1)求购进 A，B 两种树苗的单价； (2)若该学校准备用不多于 8000 元的钱购进这两种树苗共 30 棵，求 A 种树苗至少需购进多少棵． 【答案】（1）A 种树苗的单价为 200 元，B 种树苗的单价为 300 元；（2）10 棵 【解析】 （1）设 B 种树苗的单价为 x 元，则 A 种树苗的单价为 y 元， 可得：{ 3y + 5x = 2100 4y + 10x = 3800 ， 解得：{x = 300 y = 200 ， 答：A 种树苗的单价为 200 元，B 种树苗的单价为 300 元. x 2.5x 800 800 242.5x x − = 20x = 20x = 2.5 50x = x 2 8x + ( )50 20 2 8 1060x x+ +  10x 2 8 28x + 20 （2）设购买 A 种树苗 a 棵，则 B 种树苗为（30﹣a）棵， 可得：200a+300（30﹣a）≤8000， 解得：a≥10， 答：A 种树苗至少需购进 10 棵． 2．（2019·湖南中考模拟）东东玩具商店用 500 元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完， 接着又用 900 元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的 1.5 倍，但每套进价多了 5 元． （1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元； （2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套悠悠球的售价至少是多 少元？ 【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是 25 元；（2）每套悠悠球的售价至少是 35 元． 【解析】 （1）设第一批悠悠球每套的进价是 x 元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元， 根据题意得： ， 解得：x=25， 经检验，x=25 是原分式方程的解． 答：第一批悠悠球每套的进价是 25 元． （2）设每套悠悠球的售价为 y 元， 根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%， 解得：y≥35． 答：每套悠悠球的售价至少是 35 元． 考查题型十二 利用不等式计算获利问题 1．（2014·四川中考真题）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台，空调的采购单价 y1（元/ 台）与采购数量 x1（台）满足 y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1 为整数）；冰箱的采购单价 y2（元/台）与采 购数量 x2（台）满足 y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2 为整数）． （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ，且空调采购单价不低于 1200 元，问该商 家共有几种进货方案？ （2）该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下， 900 5001.55x x = ×+21 问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润． 【答案】（1）5 （2）采购空调 15 台时，获得总利润最大，最大利润值为 10650 元． 【解析】 （1）设空调的采购数量为 x 台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台， 由题意得， ， 解不等式①得，x≥11， 解不等式②得，x≤15， 所以，不等式组的解集是 11≤x≤15， ∵x 为正整数， ∴x 可取的值为 11、12、13、14、15， 所以，该商家共有 5 种进货方案； （2）设总利润为 W 元， y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100， 则 W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2， =1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x）， =1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000， =30x2﹣540x+12000， =30（x﹣9）2+9570， 当 x＞9 时，W 随 x 的增大而增大， ∵11≤x≤15， ∴当 x=15 时，W 最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元）， 答：采购空调 15 台时，获得总利润最大，最大利润值为 10650 元． 2．（2018·四川中考模拟）宜兴某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 200 元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是 400 元/台时，可售出 200 台，且售价每降低 10 元， 就可多售出 50 台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售任务． （1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围； （2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大？最大利润22 是多少？ 【答案】（1）y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）售价定为 320 元/台时，商场每月销售这种空气净化器所 获得的利润 w 最大，最大利润是 72000 元． 【解析】 (1)、根据题中条件销售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 台， 则月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×400 - x 10 ， 化简得：y=-5x+2200； (2)、根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台， 则 x≥300 且−5x+2200≥450 解得：300≤x≤350． 所以 y 与 x 之间的函数关系式为：y=-5x+2200（300≤x≤350）； (3)、W=（x-200）（-5x+2200）， 整理得：W=-5(x - 320)2+72000． ∵x=320 在 300≤x≤350 内， ∴当 x=320 时，最大值为 72000， 即售价定为 320 元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w 最大，最大利润是 72000 元． 3．（2018·山东中考模拟）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾 分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元，且垃圾箱的单价是温馨提 示牌单价的 3 倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放 48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，且费用不超过 10000 元， 请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】（1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元；（2）答案见解析 【详解】 （1）设温情提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元， 根据题意得，2x+3×3x=550， ∴x=50， 经检验，符合题意， ∴3x=150 元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元； （2）设购买温情提示牌 y 个（y 为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，23 根据题意得，意， ∴ ∵y 为正整数， ∴y 为 50，51，52，共 3 中方案； 有三种方案：①温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个， ②温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个， ③温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个， 设总费用为 w 元 W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000， ∵k=-100 ，∴w 随 y 的增大而减小 ∴当 y=52 时，所需资金最少，最少是 9800 元． 考查题型十三 运用一元一次不等式组进行方案设计 1．（2018·河南中考模拟）某校计划购买篮球、排球共 20 个．购买 2 个篮球，3 个排球，共需花费 190 元； 购买 3 个篮球的费用与购买 5 个排球的费用相同． （1）篮球和排球的单价各是多少元？ （2）若购买篮球不少于 8 个，所需费用总额不超过 800 元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写 出其中最省钱的购买方案． 【答案】（1）篮球每个 50 元，排球每个 30 元. （2）满足题意的方案有三种：①购买篮球 8 个，排球 12 个； ②购买篮球 9，排球 11 个；③购买篮球 10 个，排球 10 个；方案①最省钱 【解析】 解：（1）设篮球每个 x 元，排球每个 y 元，依题意，得： 解得 ． 答：篮球每个 50 元，排球每个 30 元． （2）设购买篮球 m 个，则购买排球（20-m）个，依题意，得： 50m+30（20-m）≤800． ( ) 100 48 50 150 100 10000. y y y − ≥  + − ≤ 50 52y≤ ≤ ， 0< 2 3 190 3 5 x y x y + =  = 50 30 x y =  = ：24 解得：m≤10． 又∵m≥8，∴8≤m≤10． ∵篮球的个数必须为整数，∴ 只能取 8、9、10． ∴满足题意的方案有三种：①购买篮球 8 个，排球 12 个，费用为 760 元；②购买篮球 9，排球 11 个，费用 为 780 元；③购买篮球 10 个，排球 10 个，费用为 800 元． 以上三个方案中，方案①最省钱． 2．（2019·广西中考模拟）某文化商店计划同时购进 A、B 两种仪器，若购进 A 种仪器 2 台和 B 种仪器 3 台， 共需要资金 1700 元；若购进 A 种仪器 3 台，B 种仪器 1 台，共需要资金 1500 元． （1）求 A、B 两种型号的仪器每台进价各是多少元？ （2）已知 A 种仪器的售价为 760 元/台，B 种仪器的售价为 540 元/台．该经销商决定在成本不超过 30000 元的前提下购进 A、B 两种仪器，若 B 种仪器是 A 种仪器的 3 倍还多 10 台，那么要使总利润不少于 21600 元，该经销商有哪几种进货方案？ 【答案】（1）A、B 两种型号的仪器每台进价各是 400 元、300 元；（2）有三种具体方案：①购进 A 种仪器 18 台，购进 B 种仪器 64 台；②购进 A 种仪器 19 台，购进 B 种仪器 67 台；③购进 A 种仪器 20 台，购进 B 种仪器 70 台． 【详解】 解：（1）设 A、B 两种型号的仪器每台进价各是 x 元和 y 元． 由题意得： ， 解得： ． 答：A、B 两种型号的仪器每台进价各是 400 元、300 元； （2）设购进 A 种仪器 a 台，则购进 A 种仪器（3a+10）台． 则有： ， 解得 ． 由于 a 为整数， ∴a 可取 18 或 19 或 20． 所以有三种具体方案： m 2 3 1700 3 1500 x y x y + =  + = 400 300 x y =  = 400 300(3 10) 30000 (760 400) (540 300)(3 10) 21600 a a a a + +  − + − +   7 1017 209 13a≤ ≤25 ①购进 A 种仪器 18 台，购进 B 种仪器 64 台； ②购进 A 种仪器 19 台，购进 B 种仪器 67 台； ③购进 A 种仪器 20 台，购进 B 种仪器 70 台． 3．（2019·贵州中考真题）某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有 A，B 两种客车可供租用，A 型客车每辆载客量 45 人，B 型客车每辆载客量 30 人．若租用 4 辆 A 型客车和 3 辆 B 型客车共需费用 10700 元；若租用 3 辆 A 型客车和 4 辆 B 型客车共需费用 10300 元． （1）求租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是多少元； （2）为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元；（2）共有三种租车方案，方案一： 租用 A 型客车 2 辆，B 型客车 5 辆，费用为 9900 元，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆，费用为 9400 元，方案三：租用 A 型客车 5 辆，B 型客车 1 辆，费用为 9800 元，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆最省钱． 【详解】 （1）设租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 x 元、y 元， ， 解得， ， 答：租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元； （2）设租用 A 型客车 a 辆，租用 B 型客车 b 辆， ， 解得， ， ， ， ∴共有三种租车方案， 方案一：租用 A 型客车 2 辆，B 型客车 5 辆，费用为 9900 元， 方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆，费用为 9400 元， 方案三：租用 A 型客车 5 辆，B 型客车 1 辆，费用为 9800 元， 由上可得，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆最省钱． 4 3 10700 3 4 10300 x y x y + =  + = 1700 1300 x y =  = 45 30 240 1700 1300 10000 a b a b + ≥  + ≤ 2 5 a b =  = 4 2 a b =  = 5 1 a b =  =